[论文解读] Hypergeometric Structures in Feynman Integrals

J. Blümlein, M. Saragnese+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 20被引用 1

一句话总结

本文提出一种自动化方法，利用超几何结构识别并求解标量和主费曼积分中出现的偏微分方程（PDE）。通过将解展开为形式幂级数并将其约化为展开系数的线性差分方程，作者采用Sigma软件包和启发式方法计算有理函数与Pochhammer符号基解，引入Hurwitz调和和，并推广已知的超几何函数，以实现量子场论中高效解析计算。

ABSTRACT

Hypergeometric structures in single and multiscale Feynman integrals emerge in a wide class of topologies. Using integration-by-parts relations, associated master or scalar integrals have to be calculated. For this purpose it appears useful to devise an automated method which recognizes the respective (partial) differential equations related to the corresponding higher transcendental functions. We solve these equations through associated recursions of the expansion coefficient of the multivalued formal Taylor series. The expansion coefficients can be determined using either the package { t Sigma} in the case of linear difference equations or by applying heuristic methods in the case of partial linear difference equations. In the present context a new type of sums occurs, the Hurwitz harmonic sums, and generalized versions of them. The code { t HypSeries} transforming classes of differential equations into analytic series expansions is described. Also partial difference equations having rational solutions and rational function solutions of Pochhammer symbols are considered, for which the code { t solvePartialLDE} is designed. Generalized hypergeometric functions, Appell-,~Kampé de Fériet-, Horn-, Lauricella-Saran-, Srivasta-, and Exton--type functions are considered. We illustrate the algorithms by examples.

研究动机与目标

• 系统分类多尺度费曼图中标量与主积分的偏微分方程。
• 开发一种自动化方法，利用已知的超几何函数类识别并求解这些PDE。
• 通过线性差分方程计算多值幂级数展开系数。
• 引入并处理新型求和类型，如Hurwitz调和和与广义Pochhammer乘积。
• 通过HypSeries软件包及solvePartialLDE软件包提供计算框架，实现费曼积分的符号求值。

提出的方法

• 使用费曼积分的分部积分（IBP）关系将其约化为主积分。
• 将主积分表示为在参数 x₁, ..., xₙ 的 {0, ..., 0} 附近的正式多元幂级数。
• 从原始PDE推导出展开系数的线性差分方程。
• 使用Sigma软件包求解所得差分方程，获得有理函数与Pochhammer符号解。
• 应用HypSeries软件包将PDE转换为解析级数展开。
• 使用solvePartialLDE软件包处理具有有理函数与Pochhammer函数解的偏线性差分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用已知的超几何函数类系统分类多尺度费曼积分中的偏微分方程？
• RQ2 广义超几何函数（如Appell、Horn、Lauricella）在表示主积分时，其作用如何，超越标准的₂F₁函数？
• RQ3 如何利用符号求和工具高效计算多值幂级数展开系数？
• RQ4 在这些积分的级数展开中，会涌现出哪些新型特殊函数类，如Hurwitz调和和？
• RQ5 自动化符号计算工具（如Sigma与HypSeries）能否有效应用于解决量子场论中的高阶PDE？

主要发现

• 本文成功将符号求和方法的应用范围扩展至利用广义超几何函数求解费曼积分中的高阶偏微分方程。
• HypSeries软件包可将PDE转换为解析级数展开，其中ExHypSeries.nb在复杂示例中需1.32天的计算时间。
• 新发现的求和类型——Hurwitz调和和与广义Pochhammer乘积——被证明是表达展开系数的关键。
• 示例计算中的常数 C 被计算为 C ≈ 2.759413418790153909406713643175，其非平凡的解析延拓涉及 ψ(1/2 + i√3/2) 和 e^(π√3/2)。
• solvePartialLDE软件包支持求解具有有理函数与Pochhammer函数解的偏线性差分方程，包含次数界与初始条件等选项。