[论文解读] Ideal structure and simplicity of the C*-algebras generated by Hilbert bimodules

Tsuyoshi Kajiwara, Claudia Pinzari+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 19

一句话总结

本文確立了由C*-代數上的希爾伯特雙模生成的C*-代數的簡約性與理想結構的條件。引入『(I)-自由性』與『(II)-自由性』，證明了(I)-自由雙模可產生與生成元無關的唯一C*-代數，且若係數代數為X-簡約，則該代數為簡約。進一步表明，(II)-自由雙模允許理想完全分類，並提供了純無限、非核的簡約C*-代數的新例子。

ABSTRACT

Pimsner introduced the C*-algebra O_X generated by a Hilbert bimodule X over a C*-algebra A. We look for additional conditions that X should satisfy in order to study simplicity and, more generally, the ideal structure of O_X when X is finite projective. We introduce two conditions: `(I)-freeness' and `(II)-freeness', stronger than the former, in analogy with [J. Cuntz, W. Krieger, Invent. Math. 56, 251-268] and [J. Cuntz, Invent. Math. 63, 25-40] respectively. (I)-freeness comprehend the case of the bimodules associated with an inclusion of simple C*-algebras with finite index, real or pseudoreal bimodules with finite dimension and the case of `Cuntz-Krieger bimodules'. If X satisfies this condition the C*-algebra O_X does not depend on the choice of the generators when A is faithfully represented. As a consequence, if X is (I)-free and A is X-simple, then O_X is simple. In the case of Cuntz-Krieger algebras, X-simplicity corresponds to irreducibility of the defining matrix. If A is simple and p.i. then O_X is p.i., if A is nonnuclear then O_X is nonnuclear. We therefore provide examples of (purely) infinite nonnuclear simple C*-algebras. Furthermore if X is (II)-free, we determine the ideal structure of O_X.

研究动机与目标

• 確立C*-代數中由希爾伯特雙模生成的簡約性與理想結構的一般準則。
• 在單一框架下統一Cuntz–Krieger代數、交叉積與Doplicher–Roberts代數的現有結果。
• 引入『(I)-自由性』與『(II)-自由性』，作為Cuntz–Krieger與Cuntz–Krieger–Pimsner構造中條件的更強類比。
• 根據雙模X與係數代數A的性質，特徵化C*-代數O_X是否簡約、純無限或非核。
• 透過希爾伯特雙模構造，提供純無限、非核、簡約C*-代數的新例子。

提出的方法

• 將C*-代數O_X識別為希爾伯特雙模分類中右張量C*-分類下的Doplicher–Roberts代數。
• 在O_X上使用Z-分次結構，類似於Cuntz–Krieger代數與交叉積，以分析齊次分量。
• 證明在(I)-自由性下，齊次元素的稠密*-子代數具有唯一的C*-範數，從而確保表示的忠實性。
• 應用Doplicher–Roberts理論與Cuntz–Krieger理論的結果，將表示從X忠實地推廣至O_X。
• 使用迭代運算元構造與L_A(X^{igotimes r}_A)中的投影，以驗證範數控制與逼近單位元。
• 應用相對交換子與外自同態理論，證明在係數代數純無限的情況下，代數的純無限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 當X是C*-代數A上的有限投影希爾伯特雙模時，O_X的理想結構應如何特徵化？
• RQ2 X需滿足何種條件，才能確保O_X簡約？這些條件如何推廣已知的Cuntz–Krieger代數準則？
• RQ3 在何種條件下，O_X為純無限或非核？此類C*-代數應如何系統性地構造？
• RQ4 (I)-自由性如何確保O_X在忠實表示中與生成元的選擇無關？
• RQ5 A的X-簡約性與O_X的簡約性之間的關係為何？此關係與Cuntz–Krieger代數中的不可約性有何關聯？

主要发现

• 若X為(I)-自由且A為X-簡約，則O_X為簡約。
• 若A為純無限且X為(I)-自由，則O_X為純無限。
• 若A為非核且X為(I)-自由，則O_X為非核。
• 若A為簡約且純無限，在(I)-自由性下，O_X為純無限（p.i.）。
• 當X為(II)-自由時，O_X的理想結構完全由A中一類理想決定。
• 當X為(I)-自由時，任何在C*-代數D中對A忠實的X的忠實表示，均可唯一地推廣至O_X的忠實表示。