[论文解读] Ill-posedness for the incompressible Euler equations in critical Sobolev spaces

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过构造具有任意小 $H^1 \cap L^\infty$ 范数的光滑、局部初始涡量，证明了二维不可压缩欧拉方程在临界索伯列夫空间 $H^1$ 中的强不适定性，该涡量在极短时间内使 $H^1$ 范数迅速膨胀至极大值。其机制依赖于关于原点具有奇-奇对称性的涡量生成的双曲流场，该流场拉伸涡量梯度，导致 $t>0$ 时立即丧失 $H^1$ 正则性，即使初始数据属于 $L^\infty \cap H^1$。该结果建立了临界正则性空间中的范数膨胀与 $H^1$ 的瞬时逃逸。

ABSTRACT

For the $2D$ Euler equation in vorticity formulation, we construct localized smooth solutions whose critical Sobolev norms become large in a short period of time, and solutions which initially belong to $L^\infty \cap H^1$ but escapes $H^1$ immediately for $t>0$. Our main observation is that a localized chunk of vorticity bounded in $L^\infty \cap H^1$ with odd-odd symmetry is able to generate a hyperbolic flow with large velocity gradient at least for a short period of time, which stretches the vorticity gradient.

研究动机与目标

• 在临界索伯列夫空间 $H^1(\mathbb{T}^2)$ 中建立二维不可压缩欧拉方程的强不适定性，即即使初始数据光滑，解也可能立即失去正则性。
• 证明 $L^\infty \cap H^1$ 初始数据可导致解在 $t>0$ 时逃逸 $H^1$，从而与 $H^1$ 中的连续依赖性矛盾。
• 提供一种简单、显式的初始数据构造方法，该方法在 $H^1$ 中表现出范数膨胀，并在 $1 \leq s < 6/5$，$sp=2$ 的 $W^{s,p}$ 空间中实现逃逸，从而将不适定性推广至更广泛的临界空间。
• 通过展示当 $\omega \in H^1$ 时速度场不具有利普希茨正则性，导致速度梯度无法受控，从而破坏 $H^1$ 控制，挑战了临界空间中良好适定性的传统预期。

提出的方法

• 构造一个关于原点具有奇-奇对称性的局部化、光滑初始涡量 $\omega_0$，确保其紧支集且 $H^1 \cap L^\infty$ 范数极小。
• 利用 Bahouri-Chemin 的平稳解作为背景，通过引入形如 $\omega_0(x_1,x_2) = \Delta(x_1x_2 |\ln|x||^2)$ 的局部 $C^\infty$ 扰动，使其具有 $H^1$ 正则性。
• 借助 Kiselev 和 Šverák 的关键引理，通过分析拉格朗日流映射 $\Phi(t,x)$ 控制速度梯度的增长，该映射在原点附近表现出双曲拉伸。
• 证明涡量梯度通过输运方程 $\partial_t \omega + u \cdot \nabla \omega = 0$ 被放大，其中速度场 $u$ 由涡量通过比奥-萨伐尔定律导出。
• 通过估计 $\|\nabla \omega(t)\|_{L^2}$ 的时间导数，利用速度梯度 $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ 的增长（由于流场中对数增长）来证明 $\omega(t,\cdot)$ 的 $H^1$ 范数迅速增长。
• 证明解在 $t>0$ 时保持空间上的 $C^\infty$，但对任意 $\delta>0$ 都不属于 $L^\infty([0,\delta); H^1)$，从而证明了 $H^1$ 正则性的瞬时丧失。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $\epsilon > 0$，是否存在光滑、紧支集的初始涡量 $\omega_0 \in C^\infty(\mathbb{T}^2)$，满足 $\|\omega_0\|_{H^1 \cap L^\infty} < \epsilon$ 且 $\mathrm{supp}(\omega_0) \subset B_0(\epsilon)$，使得存在 $0 < t < \epsilon$ 满足 $\|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} > \epsilon^{-1}$？这证明了在临界空间 $H^1$ 中的范数膨胀。
• RQ2 是否可能使初始属于 $H^1$ 的解在 $t>0$ 时立即逃逸 $H^1$，即使初始数据光滑且紧支集？
• RQ3 能否将 $H^1$ 中的不适定性推广至其他临界空间 $W^{s,p}$，其中 $1 \leq s < 6/5$ 且 $sp=2$，甚至推广至 $W^{s,p}$ 空间中 $1 \leq s < 2$ 的情形？
• RQ4 $H^1$ 范数膨胀是否源于当 $\omega \in H^1$ 时速度场不具有利普希茨正则性？能否将其与双曲流结构定量关联？
• RQ5 是否可证明 $H^1$ 正则性损失在 $W^{1,p}$ 范数的最优衰减率意义下是精确的，正如约翰-里纳尔德估计的猜想所暗示的那样？

主要发现

• 对任意 $\epsilon > 0$，存在光滑、紧支集的初始涡量 $\omega_0 \in C^\infty(\mathbb{T}^2)$，满足 $\|\omega_0\|_{H^1 \cap L^\infty} < \epsilon$ 且 $\mathrm{supp}(\omega_0) \subset B_0(\epsilon)$，使得存在 $0 < t < \epsilon$ 满足 $\|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} > \epsilon^{-1}$，从而证明了 $H^1$ 中的范数膨胀。
• 存在初始数据 $\omega_0 \in L^\infty \cap W^{s,p}$，其中 $1 \leq s < 6/5$ 且 $sp=2$，在原点外光滑，使得对任意 $t_0 > 0$，有 $\mathrm{ess\text{-}sup}_{0<t\leq t_0} \|\omega(t,\cdot)\|_{H^1} = +\infty$，表明解在 $H^1$ 中的瞬时逃逸。
• 该构造可扩展至所有 $1 \leq s < 2$ 的 $W^{s,p}$ 空间，初始数据属于 $L^\infty \cap W^{s,p}$，其 $W^{s,p}$-范数在 $t>0$ 时趋于无穷，表明正则性控制的更广泛失效。
• 其机制依赖于奇-奇对称涡量生成的双曲流场，其速度梯度以 $\ln(1/x_2)$ 的速率增长，拉伸涡量梯度并驱动 $H^1$ 范数膨胀。
• 解在 $t>0$ 时保持空间上的 $C^\infty$，但对任意 $\delta>0$ 都不属于 $L^\infty([0,\delta); H^1)$，确认即使初始数据光滑，$H^1$ 正则性也无法保持。
• 当 $\omega \in H^1$ 时速度场不具有利普希茨正则性，是导致不稳定的根源，因为它允许速度梯度足够增长以拉伸涡量并破坏 $H^1$ 控制。