[论文解读] Ill-posedness results in critical spaces for some equations arising in hydrodynamics

Tarek M. Elgindi, Nader Masmoudi|arXiv (Cornell University)|May 10, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 27

一句话总结

该论文通过一种新颖的线性化分析框架，首次在关键流体动力学方程（包括3D Euler、Oldroyd-B、SQG和Boussinesq系统）的临界正则性空间中建立了$ L^\infty $强不适定性，证明了在最小正则性假设下$ L^\infty $范数的膨胀。该方法表明，即使初始数据的$ L^\infty $范数极小，解在任意短的时间内仍可使$ L^\infty $范数增长至任意大，从而揭示了在临界空间中解对初始数据的不连续依赖性。

ABSTRACT

Many questions related to well-posedness/ill-posedness in critical spaces for hydrodynamic equations have been open for many years. In this article we give a new approach to studying norm inflation (in some critical spaces) for a wide class of equations arising in hydrodynamics. As an application, we prove strong ill-posedness of the $n$-dimensional Euler equations in the class $C^1\cap L^2 (Ω)$ and also in $C^k \cap L^2(Ω)$ where $Ω$ can be the whole space, a smooth bounded domain, or the torus. We also apply our method to the Oldroyd B, surface quasi-geostrophic, and Boussinesq systems.

研究动机与目标

• 解决流体动力学方程在临界空间中适定性/不适定性长期悬而未决的开放问题。
• 在$ \mathbb{R}^n $、光滑有界区域或环面上的$ C^1 \cap L^2 $和$ C^k \cap L^2 $空间中，为$ n $维Euler方程建立$ L^\infty $强不适定性。
• 将该方法推广至Oldroyd-B、表面准地转（SQG）和Boussinesq系统等其他方程。
• 提供一个通过线性化分析和交换子估计证明$ L^\infty $范数膨胀的一般性框架。
• 证明即使初始数据在$ L^\infty $范数下很小，解仍可能表现出对初始数据的不连续依赖性。

提出的方法

• 开发一种新的线性化框架，用于研究具有Lipschitz速度场和奇异积分强迫项的输运方程在$ L^\infty $中的范数膨胀。
• 利用$ L^p $和$ W^{1,p} $空间中的交换子估计，控制流动中非线性扰动。
• 通过沿拉格朗日流映射分析涡量方程，将该方法应用于Euler方程，推导出具有$ L^\infty $中指数增长的线性化系统。
• 构造了$ C^\infty_c $类初始数据序列，其$ L^\infty $范数任意小，但密度或涡量的梯度在$ L^\infty $范数下显著增长。
• 采用线性群$ \exp(Lt) $表示线性化演化，并推导出包含交换子和非线性项的积分方程。
• 通过验证非局部算子满足假设1且临界Besov嵌入成立，将该框架应用于非Euler系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在$ C^1 \cap L^2 $空间中为3D Euler方程建立强$ L^\infty $不适定性？
• RQ2 所提出的线性化方法是否能为具有非局部算子（如SQG和Oldroyd-B）的方程产生$ L^\infty $范数膨胀？
• RQ3 该方法能否推广至$ k \geq 1 $的$ C^k $正则性空间？
• RQ4 即使初始数据在$ L^\infty $范数下很小，解对初始数据的不连续依赖性是否仍可能出现在$ L^\infty $范数中？
• RQ5 非局部算子和速度场需满足何种条件，才能确保线性化系统中出现$ L^\infty $范数膨胀？

主要发现

• 对于$ \Omega $为$ \mathbb{R}^n $、光滑有界区域或环面的情形，3D Euler方程在$ C^1 \cap L^2(\Omega) $中是强不适定的。
• 对于$ L^\infty $范数极小但密度或涡量梯度的$ L^\infty $范数较大的初始数据，$ L^\infty $范数膨胀现象发生。
• 对于SQG方程，通过线性化系统$ \partial_{tt}\hat{\omega} = -\frac{\xi_1^2}{|\xi|^2}\hat{\omega} $建立了强$ L^\infty $不适定性，导致$ L^\infty $中指数增长。
• 该方法通过验证其非局部算子满足假设1且临界Besov嵌入成立，证明了Oldroyd-B和Boussinesq系统的温和不适定性。
• 该构造产生了一个初始属于$ W^{1,p} $（对所有$ p < \infty $）的3D Euler方程解，该解在有限时间内即离开$ W^{1,q} $（$ q > 2 $）空间，从而展示了真正的不适定性。
• 关键结果为$ |\nabla\rho^\epsilon|_{L^\infty} \geq \frac{c}{2}\epsilon t \log N - C\epsilon^2 t^2 (\log N)^2 $，当$ t $足够小且$ N $足够大时，该表达式可超过任意常数，从而证明了范数膨胀。