[论文解读] Imbalances in directed multigraphs

S. Pirzada, T. A. Naikoo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文表征了有向多重图（r-图）中的不平衡性，建立了整数序列作为r-图不平衡序列的必要且充分条件。证明了此类序列必须满足涉及r和图大小的和约束条件，并表明任何满足GCD条件的可行不平衡集合均可由r-图实现，其中传递配置使弧数最小化。

ABSTRACT

In a directed multigraph, the imbalance of a vertex $v_{i}$ is defined as $b_{v_{i}}=d_{v_{i}}^{+}-d_{v_{i}}^{-}$, where $d_{v_{i}}^{+}$ and $d_{v_{i}}^{-}$ denote the outdegree and indegree respectively of $v_{i}$. We characterize imbalances in directed multigraphs and obtain lower and upper bounds on imbalances in such digraphs. Also, we show the existence of a directed multigraph with a given imbalance set.

研究动机与目标

• 表征有向多重图（r-图）中顶点不平衡性的结构与界限，其中顶点间允许最多r条弧。
• 确定给定整数序列成为r-图不平衡序列的必要且充分条件。
• 以r和顶点位置表示，建立单个顶点不平衡性的下界和上界。
• 证明在给定集合元素的最大公约数（GCD）条件下，存在具有指定不平衡集合的r-图。

提出的方法

• 使用不平衡定义 $ b_{v_i} = d_{v_i}^+ - d_{v_i}^- $，其中 $ d_{v_i}^+ $ 和 $ d_{v_i}^- $ 分别为r-图中顶点 $ v_i $ 的出度和入度。
• 应用和约束条件：对所有 $ 1 \leq k < n $，有 $ \sum_{i=1}^k b_i \geq rk(k - n) $，且在 $ k = n $ 时取等号，作为不平衡序列可行性的条件。
• 引入对有向三元组和二元组的变换，表明传递配置在给定不平衡序列下可最小化弧数。
• 通过顶点划分和受控弧方向，构造显式r-图以实现任意不平衡集合 $ P \cup Q $，前提是所有绝对值的GCD整除r。
• 运用对偶性和对称性论证，表明若 $ B $ 是有效不平衡序列，则 $ -B $ 也是，并利用此性质推导出单个不平衡性的界限。
• 应用二次不等式以界定平方不平衡和，证明对所有 $ 1 \leq k \leq n $，有 $ \sum_{i=1}^k b_i^2 \leq \sum_{i=1}^k (2rn - 2rk - b_i)^2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个整数序列必须满足什么条件，才能作为r-图的不平衡序列被实现？
• RQ2 任何给定的有限整数集合（满足GCD约束）是否都能作为某个r-图的不平衡集合被实现？
• RQ3 在r和顶点索引的表达下，r-图中顶点不平衡性的最紧致下界和上界是什么？
• RQ4 如何将一个非传递的r-图转换为传递图而不改变其不平衡序列，且对弧数有何影响？
• RQ5 平方不平衡和与r-图的结构参数之间存在何种关系？

主要发现

• 当序列 $ B = [b_1, b_2, \ldots, b_n] $ 按非递减顺序排列时，其为r-图的不平衡序列当且仅当对所有 $ 1 \leq k < n $，有 $ \sum_{i=1}^k b_i \geq rk(k - n) $，且在 $ k = n $ 时取等号。
• 在r-图中，顶点 $ v_i $ 的不平衡 $ b_i $ 满足 $ r(i - n) \leq b_i \leq r(i - 1) $，该界限基于顶点位置和r值，为紧致界限。
• 在所有具有给定不平衡序列的r-图中，传递图通过在非传递三元组和二元组上进行弧减少变换，最小化了弧数。
• 对任意不平衡序列 $ B $，其平方不平衡和满足对所有 $ 1 \leq k \leq n $，有 $ \sum_{i=1}^k b_i^2 \leq \sum_{i=1}^k (2rn - 2rk - b_i)^2 $，且在 $ k = n $ 时取等号。
• 当且仅当所有 $ p_i $ 和 $ q_j $ 的最大公约数整除r，且其值在1到r之间时，存在一个r-图，其不平衡集合为 $ P \cup Q $，其中 $ P = \{p_1, \ldots, p_m\} $，$ Q = \{-q_1, \ldots, -q_n\} $。
• 任何r-图的不平衡序列在取反下封闭：若 $ B $ 可实现，则 $ [-b_n, \ldots, -b_1] $ 也可实现，反映了反向定向下入度与出度的对偶性。