[论文解读] Implicit Euler numerical simulations of sliding mode systems

Vincent Acary, Bernard Brogliato|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 49被引用 8

一句话总结

本文提出使用隐式欧拉法作为滑模系统鲁棒的数值离散化方法，证明其能够准确稳定滑动面上的轨迹及其导数——有效消除显式方法中常见的虚假抖动。该方法支持事件累积（Zeno现象），可处理多个切换面（余维≥2），在保持滑模控制固有不连续性的同时，相比显式格式展现出更优的数值稳定性和精度。

ABSTRACT

In this report it is shown that the implicit Euler time-discretization of some classes of switching systems with sliding modes, yields a very good stabilization of the trajectory and of its derivative on the sliding surface. Therefore the spurious oscillations which are pointed out elsewhere when an explicit method is used, are avoided. Moreover the method (an {\em event-capturing}, or {\em time-stepping} algorithm) allows for accumulation of events (Zeno phenomena) and for multiple switching surfaces (i.e., a sliding surface of codimension $\geq 2$). The details of the implementation are given, and numerical examples illustrate the developments. This method may be an alternative method for chattering suppression, keeping the intrinsic discontinuous nature of the dynamics on the sliding surfaces. Links with discrete-time sliding mode controllers are studied.

研究动机与目标

• 解决滑模系统显式时间离散化中的虚假抖动与数值不稳定性问题。
• 开发一种时间步进数值方法，以保持Filippov系统固有的不连续动力学特性。
• 实现对具有多个切换面（余维≥2）及事件累积（Zeno现象）系统的精确仿真。
• 提供一种稳定、隐式的替代方案，替代边界层或滤波技术的抖动抑制方法，避免扭曲滑模控制的本质特性。
• 通过将隐式欧拉格式与零阶保持（ZOH）离散化关联，弥合连续时间滑模控制与离散时间实现之间的鸿沟。

提出的方法

• 将隐式欧拉法应用于表示滑模系统的Filippov微分包含，确保对平滑动力学的无条件稳定积分。
• 通过引入乘子（松弛变量）重构切换逻辑，通过混合线性互补问题（MLCP）有效捕捉多值符号函数。
• 该算法以事件捕获（时间步进）方案实现，可在无需每一步进行事件检测的情况下处理多重且密集的切换事件。
• 该方法利用最大单调映射与互补理论，在适当假设下保证解的存在性与唯一性。
• 该方法被扩展至ZOH离散化系统，表明隐式欧拉时间离散化与离散时间滑模控制设计之间具有等价性。
• 数值实现采用半光滑牛顿法求解每一步的隐式方程，确保鲁棒收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐式欧拉法是否能消除显式方法中常见的虚假抖动，从而在滑模系统数值仿真中实现更优性能？
• RQ2 隐式欧拉格式在余维≥2的滑动面上对轨迹及其导数的稳定性能如何？
• RQ3 该方法在不发生数值发散的前提下，能在多大程度上处理Zeno现象（有限时间内无限切换）？
• RQ4 与滤波或边界层技术相比，隐式欧拉方法是否能保持滑模控制固有的不连续动力学特性？
• RQ5 在离散时间滑模控制器设计中，该方法与ZOH离散化相比，在稳定性和精度方面表现如何？

主要发现

• 隐式欧拉法在滑动面上实现了对状态及其导数的平滑且精确的稳定，即使在较大时间步长（如 h = 0.1）下也未观察到抖动。
• 该方法成功处理了具有多个切换面（余维≥2）的系统，例如Filippov示例中存在两个切换面的情形，系统收敛至原点且无振荡。
• 该方法可实现Zeno现象的仿真，如数值示例所示，未出现数值发散。
• 隐式时间积分参数θ的选择显著影响稳定性：θ = 1（后向欧拉）可确保无条件稳定，而θ = 0（显式欧拉）在 h = 0.01 时导致不稳定。
• 采用θ = 1/2可提高平滑动力部分的数值精度，但由于对多值项采用完全隐式处理，整体未实现二阶收敛。
• 在基于观测器的SMC中，该方法生成无抖动的控制信号并实现快速误差收敛，即使在低采样率（10 Hz）下也表现出鲁棒性与实际可行性。