[论文解读] Implied volatility explosions: European calls and implied volatilities close to expiry in exponential Lévy models

Michael Roper|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文分析了在指数 Lévy 模型中，欧式看涨期权价格和隐含波动率在临近到期时的小时间行为。研究发现，期权价格偏离其内在价值的程度与到期时间呈线性关系，其速率由 Lévy 测度决定；这导致隐含波动率在到期时趋于无穷大，除非处于平值状态。该结果在 Lévy 过程的一般条件下成立，包括具有跳跃的模型。

ABSTRACT

We examine the small expiry behaviour of European call options in stock price models of exponential Lévy type. In most cases of interest, we are able to identify the exact small expiry asymptotics. In "complete generality" we are able to show that the time value of the call option has O(τ) decay as τ(time to expiry) goes to zero. Using our results on the behaviour of call options close to expiry we show that implied volatility explodes as $τ o0^+$ in "most" exponential Lévy models. Attention is restricted to calls and implied volatilities that are not at-the-money.

研究动机与目标

• 理解在指数 Lévy 模型中，欧式看涨期权价格在临近到期时的小时间行为。
• 确定在何种条件下，隐含波动率在到期时间趋近于零时发生爆炸。
• 将现有关于期权价格和隐含波动率的渐近结果推广至不要求平滑 Lévy 密度的模型。
• 以 Lévy 测度的形式，精确建立期权价格的渐近行为，尤其针对价外行权价。
• 严格证明在大多数指数 Lévy 模型中，即使存在跳跃，当到期时间临近时，隐含波动率仍趋于无穷大。

提出的方法

• 使用表示式 $ S_\tau = S_0 e^{X_\tau} $，其中 $ X $ 是一个 Lévy 过程，具有 Lévy 测度 $ \nu $，在鞅测度下进行分析。
• 应用广义版本的极限结果 $ \lim_{\tau \to 0^+} \frac{1}{\tau} \mathbb{E}[f(X_\tau)] = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, \nu(dx) $，适用于合适的函数 $ f $，并将其推广至有界或连续函数之外的情形。
• 分析函数 $ c(x) = (S_0 e^x - K)^+ $（当 $ S_0 < K $ 时）和 $ p(x) = (K - S_0 e^x)^+ $（当 $ S_0 > K $ 时），证明其满足渐近结果所需的可积性与正则性条件。
• 推导出主导阶渐近展开式：当 $ S_0 < K $ 时，有 $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $，类似结果也适用于 $ S_0 > K $。
• 通过将期权价格的渐近行为与 Black-Scholes 公式关联，推导出隐含波动率的发散性，即当 $ \tau \to 0^+ $ 时，隐含波动率参数发生爆炸。
• 使用 Landau 大 O 和小 o 记号来形式化渐近行为，并在对 Lévy 过程的最小假设下证明结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在指数 Lévy 模型中，欧式看涨期权价格在到期时间趋近于零时如何表现？
• RQ2 在具有跳跃的模型中，隐含波动率在到期时间趋近于零时，会在何种条件下发生爆炸？
• RQ3 即使 Lévy 测度 $ \nu $ 不具有密度，是否也能以 $ \nu $ 的显式形式表达期权价格的渐近行为？
• RQ4 隐含波动率在到期前是否始终有限？在何时会随着 $ \tau \to 0^+ $ 而发散？
• RQ5 期权价格收敛至其内在价值的精确速率是多少？其依赖关系如何随行权价相对于现价的变化而改变？

主要发现

• 当 $ S_0 < K $ 时，在 Lévy 过程的温和条件下，期权价格与内在价值之差满足 $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $，当 $ \tau \to 0^+ $ 时成立。
• 当 $ S_0 > K $ 时，相应的渐近关系为 $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (K - S_0 e^x)^+ \, \nu(dx) $，同样在 $ \tau \to 0^+ $ 时成立。
• 在缺乏正则性假设的情况下，价格偏差仍为 $ \mathcal{O}(\tau) $，但精确速率取决于 Lévy 测度。
• 在大多数指数 Lévy 模型中，包括 Variance Gamma、NIG、CGMY、Meixner、广义双曲分布以及正常变型稳定过程，隐含波动率在 $ \tau \to 0^+ $ 时趋于无穷大。
• 发散的原因在于：当 Lévy 测度在零以外的位置具有正密度时，Black-Scholes 公式中的隐含波动率参数必须发散，以匹配与 $ \tau $ 线性相关的期权价格偏差。
• 隐含波动率对所有 $ \tau > 0 $ 均保持有限，但在 $ \tau \to 0^+ $ 的极限下趋于无穷大，即使在具有有限变差跳跃的模型中，只要 Lévy 测度是非退化的，该现象依然成立。