[论文解读] Improved boundary regularity for a Stokes-Lam\\'e system

Francesca Bucci|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 37被引用 43

一句话总结

这篇论文分析了阻尼化的 Stokes-Lamé 流体–结构相互作用，证明界面处流体边界迹的正则性，并通过半群/插值方法实现无穷时域的线性二次控制。

ABSTRACT

This paper recalls a partial differential equations system, which is the linearization of a recognized fluid-elasticity interaction three-dimensional model. A collection of regularity results for the traces of the fluid variable on the interface between the body and the fluid is established, in the case a suitable boundary dissipation is present. These regularity estimates -- in time and space, of local and global nature -- are geared toward ensuring the well-posedness of the algebraic Riccati equations which arise from the associated optimal boundary control problems on an infinite time horizon. The theory of operator semigroups and interpolation provide the main tools.

研究动机与目标

• 在固定、阻尼设置下激发流体-弹性界面相互作用研究的动机。
• 建立用于控制设计的流体界面迹线的轨迹正则性。
• 建立一个抽象的半群框架以改写偏微分方程系统。
• 使由无穷时域最优控制产生的代数里卡提方程可解。

提出的方法

• 在合适的 Banach 空间中将耦合的 PDE 系统表述为抽象的 Cauchy 问题 y' = Ay + Bg。
• 证明生成元 A 定义了一个解析半群，且控制算子 B 具有可容许性。
• 通过半群/插值技术导出流体速度及其在界面上的边界迹的正则性结果。
• 利用界面上弹性应力的正则性（命题 2.4）来控制边界项。
• 将无穷时域线性二次框架应用于阻尼的 FSI，并将迹正则性与里卡提方程的良定性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定阻尼 FSI 系统的情况下，界面 Γs 上流体速度 u 的迹及其时间导数 u_t 可以获得哪种正则性？
• RQ2 边界耗散（a2 > 0）与无阻尼情形（a2 = 0）相比如何影响稳定性与正则性？
• RQ3 所建立的迹正则性是否能支持相关无穷时域线性二次控制问题及相应的里卡提方程的良定性？

主要发现

• 界面 Γs 上的流体速度可以分解为 u(t) = u1(t) + u2(t)，其中 u1(t) 以指数衰减并伴随时间奇性（t^{-1/4-δ}）进行减缓。
• 第二分量 u2 在界面上满足 Lp 型正则性，导致 u2|Γs ∈ L^p(0,T; L^2(Γs)) 对所有 p ≥ 1 且有限 T。
• 在更高正则性的初始数据下获得更强的正则性：u2|Γs ∈ H^{1+ε/2, 1/2+ε/4}(Σs)，因此 u2|Γs ∈ C([0,T], L^2(Γs))。
• 界面上的流体加速度迹 u_t 属于 L^q(0,T; H^{1/2−θ−δ}(Γs))，对于 q < 2/(2−δ)，并且特别地对于 q < 4/(3+2θ) 属于 L^q(0,T; L^2(Γs))。
• 这些迹正则性结果是在没有平滑观测的情况下获得的，并且与完整的二次能量泛函兼容，便于应用无穷时域 LQ 理论。