[论文解读] Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions

Elias Tsigaridas|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于连分数的新方法，用于计算单变量多项式正实根的下界，显著改进了经典连分数（CF）算法在实根隔离中的最坏情况时间复杂度。通过引入一种高效的根界计算技术，作者实现了 $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^{6}+d^{4}\tau^{2})$ 的复杂度，相比 Sharma 的先前界提高了 $d^3$ 倍，并与基于划分的求解器的最佳已知界相匹配。

ABSTRACT

We consider the problem of isolating the real roots of a square-free polynomial with integer coefficients using (variants of) the continued fraction algorithm (CF). We introduce a novel way to compute a lower bound on the positive real roots of univariate polynomials. This allows us to derive a worst case bound of $\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$ for isolating the real roots of a polynomial with integer coefficients using the classic variant \cite{Akritas:implementation} of CF, where $d$ is the degree of the polynomial and $τ$ the maximum bitsize of its coefficients. This improves the previous bound of Sharma \cite{sharma-tcs-2008} by a factor of $d^3$ and matches the bound derived by Mehlhorn and Ray \cite{mr-jsc-2009} for another variant of CF; it also matches the worst case bound of the subdivision-based solvers.

研究动机与目标

• 改进经典连分数（CF）算法在分离整系数无平方多项式实根时的最坏情况时间复杂度界。
• 解决先前 CF 变体因依赖次优的正实根下界而导致的效率低下问题。
• 通过基于 CF 的方法，实现与当前最优的基于划分的求解器一致的复杂度界（$\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^6 + d^4\tau^2)$）。
• 提出一种新方法，用于高效计算最小正实根的下界，从而实现更紧密的复杂度分析。

提出的方法

• 提出一种新颖技术，通过确定多项式最小正实根的下界，来计算正实根的下界。
• 利用该下界，将 Vincent 方法中重复的 $x \mapsto x+1$ 变换替换为单步 $x \mapsto x + c$ 操作，其中 $c$ 为计算得到的下界。
• 在连分数展开的每一步中，应用泰勒平移并结合计算得到的界，以高效地变换多项式。
• 利用引理 5 和引理 6 来界定部分商及其乘积的对数大小，从而实现精确的复杂度分析。
• 通过累加所有根隔离过程中的贡献，结合对 $\lg(q_0^\gamma)$、$\lg(\Delta_\gamma)$ 及每条根的步骤数的界，推导出总复杂度。
• 利用关于 Descartes 符号法则和 Vincent 定理的已有结果，确保算法的正确性与终止性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典连分数算法在实根隔离中的最坏情况复杂度能否超越先前的 $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^8\tau^3)$ 界？
• RQ2 使用更紧致的正实根下界对部分商数量及整体复杂度有何影响？
• RQ3 基于 CF 的算法能否实现与最优基于划分的求解器相当的复杂度？
• RQ4 是否能够高效计算最小正实根的下界，从而改善 CF 算法的整体复杂度？

主要发现

• 所提方法将经典连分数算法在实根隔离中的最坏情况复杂度降低至 $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^6 + d^4\tau^2)$。
• 该复杂度改进相较于 Sharma [30] 建立的先前界提高了 $d^3$ 倍。
• 新复杂度与基于划分的求解器（如 Sturm、Descartes 和 Bernstein 方法）的最优已知最坏情况界一致。
• 关键创新在于提出一种新颖方法，用于计算最小正实根的下界，从而实现对部分商增长的更紧密控制。
• 分析表明，总代价主要由 $\lg(q_k^\gamma)$ 项及其乘积之和主导，这些项通过新根界方法得到有界控制。
• 该方法确保在无需计算部分商的情况下隔离满足 $\Delta_\gamma \geq 1$ 的根，从而减少不必要的计算。