[论文解读] Improved Lower Bounds for Approximating Parameterized Nearest Codeword and Related Problems Under ETH

Shuangle Li, Bingkai Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

DNA and Biological Computing被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对有限域 Fp 上参数化最大似然译码问题（k-MLDp）的新型随机化自约化方法，在时间 f(k)n^O(1) 内实现了 (3/2 − ε) 的间隙，参数膨胀为 k′ = O(k² log k)。在随机化指数时间假设（ETH）下，证明了不存在任何算法能在 f(k) · n^{o(√k / log k)} 时间内将 k-MLDp（及其对偶问题 k-NCPp）近似至 (3/2 − ε) 因子以内，显著改进了先前基于 ETH 的关于 k-NCPp、k-MDPp、k-CVPp 和 k-SVPp 的下界，适用于所有 ℓp 范数。

ABSTRACT

In this paper we present a new gap-creating randomized self-reduction for parameterized Maximum Likelihood Decoding problem over $\mathbb{F}_p$ ($k$-MLD$_p$). The reduction takes a $k$-MLD$_p$ instance with $k\cdot n$ vectors as input, runs in time $f(k)n^{O(1)}$ for some computable function $f$, outputs a $(3/2-\varepsilon)$-Gap-$k'$-MLD$_p$ instance for any $\varepsilon>0$, where $k'=O(k^2\log k)$. Using this reduction, we show that assuming the randomized Exponential Time Hypothesis (ETH), no algorithms can approximate $k$-MLD$_p$ (and therefore its dual problem $k$-NCP$_p$) within factor $(3/2-\varepsilon)$ in $f(k)\cdot n^{o(\sqrt{k/\log k})}$ time for any $\varepsilon>0$. We then use reduction by Bhattacharyya, Ghoshal, Karthik and Manurangsi (ICALP 2018) to amplify the $(3/2-\varepsilon)$-gap to any constant. As a result, we show that assuming ETH, no algorithms can approximate $k$-NCP$_p$ and $k$-MDP$_p$ within $γ$-factor in $f(k)n^{o(k^{\varepsilon_γ})}$ time for some constant $\varepsilon_γ>0$. Combining with the gap-preserving reduction by Bennett, Cheraghchi, Guruswami and Ribeiro (STOC 2023), we also obtain similar lower bounds for $k$-MDP$_p$, $k$-CVP$_p$ and $k$-SVP$_p$. These results improve upon the previous $f(k)n^{Ω(\mathsf{poly} \log k)}$ lower bounds for these problems under ETH using reductions by Bhattacharyya et al. (J.ACM 2021) and Bennett et al. (STOC 2023).

研究动机与目标

• 在较弱的 ETH 假设下，建立参数化近似最近码字及其相关编码问题的更强细粒度时间下界，而非依赖于扩展的 Gap-ETH。
• 弥合现有基于 ETH 的下界与更强的 Gap-ETH 基础结果之间的差距，特别是针对 k-NCPp 及其变体。
• 开发一种更简单、更直接的约化技术，避免先前工作中复杂的张量化操作与参数膨胀。

提出的方法

• 提出一种新型随机化自约化方法，将一个 k-MLDp 实例转化为一个 (3/2 − ε)-Gap-k′-MLDp 实例，其中 k′ = O(k² log k)，运行时间为 f(k)n^O(1)。
• 利用该约化方法证明：在随机化 ETH 假设下，不存在任何算法能在 f(k) · n^{o(√k / log k)} 时间内将 k-MLDp 近似至 (3/2 − ε) 因子以内。
• 通过 Bhattacharyya 等人（ICALP 2018）的方法应用间隙放大技术，将 (3/2 − ε) 的间隙推广至任意常数 γ > 1。
• 将新约化方法与 Bennett 等人（STOC 2023）的间隙保持约化相结合，将下界推广至所有 ℓp 范数下的 k-MDPp、k-CVPp 和 k-SVPp。
• 证明了对 k-NCPp、k-MDPp、k-CVPp 和 k-SVPp 的 γ-近似问题，其下界为 f(k) · n^{o(k^ε)}，其中 ε > 0 依赖于 p 和 γ。
• 分析了约化过程中的参数膨胀，特别是 Haviv-Regev 张量化步骤中的膨胀情况，表明新方法通过优化阈值图构造，避免了过度增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在较弱的 ETH 假设下，而非更强的 Gap-ETH 下，实现对 k-NCPp 及相关问题的常数因子不可近似性？
• RQ2 能否减少间隙生成约化中的参数膨胀，以获得更紧的时间下界？
• RQ3 能否构造一个具有 h = Ω(k) 和 m = O(k) 的强阈值图，以提升约化的效率？
• RQ4 能否简化间隙生成机制，避免复杂张量化操作，同时仍能实现任意常数因子的间隙？
• RQ5 在 ETH 假设下，能否将 k-SVPp 的下界推广至所有 ℓp 范数，包括 ℓ1？

主要发现

• 本文证明，在假设随机化 ETH 成立的前提下，不存在任何算法能在 f(k) · n^{o(√k / log k)} 时间内将 k-MLDp 近似至 (3/2 − ε) 因子以内，对任意 ε > 0 成立。
• 新约化方法仅导致 O(k² log k) 的参数膨胀，实现了对先前指数级参数增长的显著改进。
• 通过 Bhattacharyya 等人方法实现间隙放大后，作者证明了 k-NCPp 和 k-MDPp 无法在 f(k) · n^{o(k^ε)} 时间内被任意常数因子 γ 近似，其中 ε > 0 依赖于 γ 和 p。
• 对于 k-CVPp 和 k-SVPp，相同的下界被推广至所有 ℓp 范数（p ≥ 1），其中 k-SVPp 的结果在 p > 1 时成立，且在 p = 1 时逼近常数 2。
• 这些下界比先前结果更紧，优于 BBE+21 和 BCGR23 的 f(k)n^{Ω(poly log k)} 下界。
• 该方法避免了先前工作中复杂的张量化操作，为在 ETH 假设下获得不可近似性结果提供了更简洁、更直接的路径。