[论文解读] Improved Lower Bounds for Online Hypercube and Rectangle Packing

David Blitz, Sandy Heydrich+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文改进了二维及以上维度下在线超立方体和矩形装箱问题的下界，通过引入一种新颖的对抗性输入构造方法，证明了没有任何在线算法能够实现低于 1.680783 的竞争比（用于正方形装箱）和低于 1.859 的竞争比（用于矩形装箱）。此外，论文还证明了在二维超立方体装箱中，Harmonic 类算法的下界为 2.0954，表明它们无法突破 2.0 的竞争比屏障。

ABSTRACT

Packing a given sequence of items into as few bins as possible in an online fashion is a widely studied problem. We improve lower bounds for packing boxes into bins in two or more dimensions, both for general algorithms for squares and rectangles (in two dimensions) and for an important subclass, so-called Harmonic-type algorithms for hypercubes (in two or more dimensions). Lastly, we show that two adaptions of ideas from a one-dimensional packing algorithm to square packing do not help to break the barrier of 2.

研究动机与目标

• 解决二维及以上维度在线装箱问题中已知上界与下界之间的差距。
• 改进二维在线正方形与矩形装箱问题的一般性下界。
• 为超立方体装箱中重要的 Harmonic 类算法建立更紧致的下界。
• 分析现有算法方法在突破二维超立方体装箱 2.0 竞争比屏障方面的局限性。

提出的方法

• 通过精心设计的物品与沙子构造对抗性输入序列，以迫使算法效率低下。
• 采用对偶拟合方法计算最优装箱使用量，并与算法性能进行比较。
• 应用 Ramanan 等人提出的一般化方法，推导出高维中 Harmonic 类算法的下界。
• 引入两阶段输入构造：首先处理中等大小的物品，然后处理大件物品与沙子，以最大化算法浪费。
• 优化物品尺寸与沙子体积等参数，以最大化算法使用装箱数与最优装箱数的比值。
• 使用数值优化方法寻找使下界最大的临界值 α，最终得出二维 B₂ 算法的下界为 2.0954。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何在线算法在二维正方形装箱中可实现的最佳竞争比是多少？
• RQ2 二维超立方体装箱中的 Harmonic 类算法能否实现低于 2.0 的竞争比？
• RQ3 二维在线矩形装箱问题的最紧致一般性下界是什么？
• RQ4 如何构造对抗性输入序列以最大化在线算法与最优算法之间的差距？
• RQ5 对于 B₂ 算法类，二维超立方体装箱的下界是否可进一步提升至 2.0954 以上？

主要发现

• 论文为二维在线正方形装箱问题建立了新的通用下界 1.680783。
• 论文为二维在线矩形装箱问题证明了新的通用下界 1.859。
• 对于二维超立方体装箱中的 Harmonic 类算法，论文证明了下界为 2.0954，表明其无法实现低于该值的竞争比。
• 通过 Harmonic 类算法实现的二维超立方体装箱下界已超过此前已知的 2.0 阻力屏障，揭示了该类算法的根本局限性。
• 作者推测，通过扩展输入序列，矩形装箱的下界可进一步提升至 1.907，但目前尚无正式证明。
• 分析表明，单独装箱中等大小物品所造成的空间浪费，即使在推迟着色的情况下，也超过了其尺寸保证带来的收益。