[论文解读] Improved Set-Based Symbolic Algorithms for Parity Games

Krishnendu Chatterjee, Wolfgang Dvořák+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用 2

一句话总结

本文提出了两种改进的基于集合的符号算法，用于求解公平游戏（parity games），在保持线性空间复杂度的同时实现了次指数级的符号操作。第一种算法需要 O(n^{c/2+1}) 次符号操作和 O(n) 空间，第二种算法将操作次数进一步减少至 O(n^{c/3+1})，同样保持线性空间——这是首次实现线性空间且符号操作次数为次指数级的公平游戏符号算法。

ABSTRACT

Graph games with ω-regular winning conditions provide a mathematical framework to analyze a wide range of problems in the analysis of reactive systems and programs (such as the synthesis of reactive systems, program repair, and the verification of branching time properties). Parity conditions are canonical forms to specify ω-regular winning conditions. Graph games with parity conditions are equivalent to μ-calculus model checking, and thus a very important algorithmic problem. Symbolic algorithms are of great significance because they provide scalable algorithms for the analysis of large finite-state systems, as well as algorithms for the analysis of infinite-state systems with finite quotient. A set-based symbolic algorithm uses the basic set operations and the one-step predecessor operators. We consider graph games with $n$ vertices and parity conditions with $c$ priorities. While many explicit algorithms exist for graph games with parity conditions, for set-based symbolic algorithms there are only two algorithms (notice that we use space to refer to the number of sets stored by a symbolic algorithm): (a) the basic algorithm that requires $O(n^c)$ symbolic operations and linear space; and (b) an improved algorithm that requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations but also $O(n^{c/2+1})$ space (i.e., exponential space). In this work we present two set-based symbolic algorithms for parity games: (a) our first algorithm requires $O(n^{c/2+1})$ symbolic operations and only requires linear space; and (b) developing on our first algorithm, we present an algorithm that requires $O(n^{c/3+1})$ symbolic operations and only linear space. We also present the first linear space set-based symbolic algorithm for parity games that requires at most a sub-exponential number of symbolic operations.

研究动机与目标

• 为解决符号算法在公平游戏中的可扩展性差距，公平游戏在形式化验证与综合中具有核心地位。
• 克服现有基于集合的符号算法中符号操作次数与空间复杂度之间的权衡。
• 设计一种算法，实现次指数级符号操作的同时保持线性空间，从而实现对大规模或无限状态系统的高效分析。
• 提供首个具有次指数级操作次数的线性空间符号算法，用于公平游戏，优于以往的指数空间解决方案。

提出的方法

• 第一种算法基于支配分解的递归分解，利用符号前像计算和集合运算，隔离出获胜区域，从而减少操作次数。
• 它以符号方式应用进度度量提升技术，仅使用基本集合运算和一步前驱（CPre）运算，从而保持线性空间。
• 第二种算法通过优化递归结构并使用大步符号吸引器计算，进一步减少符号操作次数。
• 它采用符号化的小进度度量算法变体，其中进度度量通过集合表示，并使用符号 CPre 和集合运算进行更新。
• 通过避免存储中间进度度量状态，而是在需要时动态重新计算必要集合，从而保持线性空间。
• 获胜策略通过符号 CPre 和集合交集运算并行计算，每位玩家的策略均来自吸引器和前像计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种基于集合的符号算法，用于公平游戏，实现次指数级符号操作，同时仅使用线性空间？
• RQ2 是否可能在不将空间复杂度提升至线性以上的情况下，减少公平游戏符号算法中的符号操作次数？
• RQ3 我们能否开发一种符号算法，同时具备次指数级操作次数的效率与线性空间使用的实用性，适用于大规模或无限状态系统？
• RQ4 如何将进度度量技术适配到符号计算环境中，以实现获胜区域的高效且空间高效的计算？

主要发现

• 所提出的第一个算法实现了 O(n^{c/2+1}) 次符号操作和 O(n) 空间，相较于先前的 O(n^{c/2+1}) 空间算法有显著改进，同时保持了相同的操作次数。
• 第二种算法将符号操作次数减少至 O(n^{c/3+1})，同时仍仅使用 O(n) 空间，效率得到显著提升。
• 本文首次提出一种用于公平游戏的线性空间符号算法，其符号操作次数为次指数级，解决了符号算法设计中的一个关键开放问题。
• 获胜策略的计算可在与获胜集计算相同的符号操作和空间复杂度范围内完成，从而实现策略的完整合成。
• 符号进度度量构造使得策略提取效率较高，每位玩家仅需 O(n) 次 CPre 操作和 O(c·n²) 次集合操作。
• 这些算法适用于具有布尔变量或有界整数变量的有限状态系统，以及具有有限商的无限状态系统，如时序自动机或混合系统。