[论文解读] Improving the Line of Sight for the Anisotropic 3-Point Correlation Function of Galaxies: Centroid and Unit-Vector-Average Methods Scaling as $\mathcal{O}(N^2)$

K. Garcia, Zachary Slepian|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2020

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出了对称的视线方向估计方法——质心法与单位向量平均法，用于星系的各向异性三阶相关函数（3PCF），通过消除对单个三元组成员的依赖，减少了系统误差。利用球谐函数平移定理，该方法实现了$$\mathcal{O}(N^2)$$的计算复杂度，使大规模巡天（如DESI）的高效计算成为可能，并相比传统的单三元组成员方法，将系统误差降低了最多40%。

ABSTRACT

The 3-Point Correlation Function (3PCF), which measures correlations between triplets of galaxies encodes information about peculiar velocities, which distort the observed positions of galaxies along the line of sight away from their true positions. To access this information, we must track the 3PCF's dependence not only on each triangle's shape, but also on its orientation with respect to the line of sight. Consequently, different choices for the line of sight will affect the measured 3PCF. Up to now, the line of sight has been taken as the direction to a single triplet member (STM), but which triplet member is used impacts the 3PCF by ~20% of the statistical error for a BOSS-like survey. For DESI (2019-24), which is 5X more precise, this would translate to 100% of the statistical error, increasing the total error bar by 40%. We here propose a new method that is fully symmetric between the triplet members, and uses either the average of the three galaxy position vectors (which we show points to the triangle centroid), or the average of their unit (direction) vectors. Naively, these approaches would seem to require triplet counting, scaling as $N^3$, with $N$ the number of objects in the survey. By harnessing the solid harmonic shift theorem, we here show how these methods can be evaluated scaling as $N^2$. We expect that they can be used to make a robust, systematics-free measurement of the anisotropic 3PCF of upcoming redshift surveys such as DESI. So doing will in turn open an additional channel to constrain the growth rate of structure and thereby learn the matter density as well as test the theory of gravity.

研究动机与目标

• 解决在各向异性3PCF中选择单个星系作为视线方向所引入的系统误差问题，该误差在高精度巡天（如DESI）中可高达统计误差的100%。
• 通过引入对称估计方法，使三元组中三个星系的地位完全平等，从而消除3PCF测量中的方向性偏差。
• 开发计算高效的算法，以在大规模数据中评估对称3PCF估计方法，克服三元组计数带来的原始$\mathcal{O}(N^3)$复杂度。
• 通过利用3PCF中编码的红移空间畸变信息，实现对结构增长速率的稳健约束以及对引力理论的检验。
• 为未来大规模红移巡天（如DESI，2019–2024年）提供一种无系统误差的各向异性3PCF测量框架。

提出的方法

• 将视线方向定义为三明星系在真实空间中位置向量的平均值，该方法被证明指向三角形的质心。
• 提出另一种视线方向定义方式：使用从观测者到三元组中每个星系的三个单位向量（方向）的平均值。
• 通过解析证明，质心法与单位向量平均法均与$\mathcal{O}(\theta^2)$等价，其中$\theta$为三角形边的角尺寸，确保近似误差极小。
• 利用球谐函数平移定理，将3PCF重新表达为球谐函数展开形式，从而在谐函数空间中通过卷积实现高效计算。
• 通过利用对称性与谐函数分解，将计算复杂度从$\mathcal{O}(N^3)$降低至$\mathcal{O}(N^2)$，使该方法适用于大规模巡天。
• 通过快速球谐变换与角功率谱技术实现该方法的高效计算，覆盖所有三角形构型下的3PCF。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高精度宇宙学巡天中，视线方向的选择（如单个三元组成员）如何影响所测得的各向异性3PCF？
• RQ2 对称估计方法（如质心法或单位向量平均法）是否能在不牺牲计算可行性的情况下消除3PCF中的方向性偏差？
• RQ3 对称3PCF估计方法的计算复杂度如何？能否利用数学定理将复杂度从$\mathcal{O}(N^3)$降低至$\mathcal{O}(N^2)$？
• RQ4 与传统的单成员方法相比，对称估计方法在DESI等巡天中能将3PCF的系统误差降低多少？
• RQ5 当使用无系统误差的对称视线方向计算3PCF时，如何从中提取结构增长速率的信息并用于检验引力理论？

主要发现

• 质心法与单位向量平均法在数学上等价于$\mathcal{O}(\theta^2)$，确保对小角度三角形具有高精度。
• 对于类似BOSS的巡天，传统单三元组成员（STM）方法引入的系统误差约为统计误差的20%；对于DESI，该值上升至约统计误差的100%。
• 在类似DESI的巡天中，采用对称方法可使总误差条减少约40%，这是由于消除了方向性偏差。
• 球谐函数平移定理使3PCF计算的复杂度降低至$\mathcal{O}(N^2)$，使其在拥有$N \sim 10^6$颗星系的DESI等大规模巡天中成为可行方案。
• 该方法提供了对各向异性3PCF的稳健、无系统误差的测量，从而解锁了对结构增长速率的更严格约束以及对宇宙学引力理论的检验能力。
• 对称估计方法在三元组成员的排列下完全不变，消除了方向依赖性，提升了测量的可靠性。