[论文解读] Impulsive Stabilization of Linear Delay Differential Equations

Leonid Berezansky, Elena Braverman|ArXiv.org|Feb 21, 1995

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了具有广义时变系数和时滞的标量线性时滞微分方程的脉冲镇定问题。通过在指定时刻施加离散时间脉冲，作者推导出渐近稳定的显式充分条件，涵盖系数为正和符号任意的方程，为通过脉冲控制镇定不稳定系统提供了构造性框架。

ABSTRACT

The paper is concerned with stabilization of a scalar delay differention equation $$ {\dot x}(t) - \sum_{k=1}^m A_k(t)x[h_k(t)] = 0,~t\geq 0,~ x(ξ)=φ(ξ), ξ<0, $$ by introducing impulses in certain moments of time $$ x(τ_j) = B_j x(τ_j -0), ~j=1,2, \dots ~. $$ Explicit stability results are presented both for the equation with positive coefficients and for the equation with $A_k$ being of arbitrary sign.

研究动机与目标

• 解决由于时滞和时变系数导致本质不稳定的线性时滞微分方程的镇定挑战。
• 开发一种在离散时间点施加脉冲干预的控制策略，以实现渐近稳定。
• 将稳定性结果扩展至系数符号任意的方程，不限于正系数。
• 提供显式、可验证的稳定性条件，这些条件依赖于脉冲幅值和时机。
• 为标量系统乃至潜在的高阶系统提供可应用的理论框架。

提出的方法

• 将系统建模为具有分布时滞的标量线性时滞微分方程：$ \dot{x}(t) - \sum_{k=1}^m A_k(t)x[h_k(t)] = 0 $，$ t \geq 0 $，初始历史为 $ x(\xi) = \varphi(\xi) $，$ \xi < 0 $。
• 通过条件 $ x(\tau_j) = B_j x(\tau_j - 0) $ 在离散时间 $ \tau_j $ 引入脉冲效应，建模瞬时状态重置。
• 利用适用于脉冲时滞系统的Lyapunov型泛函和比较技术分析稳定性。
• 基于脉冲增益 $ B_j $、系数函数 $ A_k(t) $ 和时滞函数 $ h_k(t) $，推导出渐近稳定的显式充分条件。
• 区分两种情形：(1) $ A_k(t) \geq 0 $，以及 (2) $ A_k(t) $ 符号任意，分别提供稳定性准则。
• 通过与辅助脉冲微分方程的比较，将分析简化为脉冲系统理论中的已知稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可通过脉冲控制镇定一个不稳定的线性时滞微分方程？
• RQ2 脉冲的幅值和时机如何影响具有时变系数和时滞的系统的稳定性？
• RQ3 能否为系数符号任意（而不仅限于非负）的系统推导出显式稳定性准则？
• RQ4 时滞函数 $ h_k(t) $ 在决定脉冲系统稳定性方面起什么作用？
• RQ5 脉冲增益 $ B_j $ 如何影响解的收敛速度和长期行为？

主要发现

• 对于系数 $ A_k(t) \geq 0 $ 的方程，基于脉冲增益 $ B_j $ 和时滞结构，推导出渐近稳定的充分条件。
• 即使系数 $ A_k(t) $ 符号任意，也建立了显式稳定性条件，将先前结果扩展至更广泛的系统类别。
• 本文提供了一种构造性方法，用于选择脉冲时刻和增益 $ B_j $，以镇定在无脉冲时本不稳定的系统。
• 稳定性分析适用于时变时滞 $ h_k(t) $，允许其对时间具有普遍函数依赖性。
• 所得结果适用于标量方程，并为将脉冲镇定推广至高阶时滞系统奠定了基础。
• 推导出的条件具有可验证性，且显式依赖于系统参数、脉冲位置和增益，支持实际应用。