[论文解读] Incidences between points on a variety and planes in R^3

Micha Sharir, Noam Solomon|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 6

一句话总结

本论文在 ℝ³ 中的常数次不可约代数曲面 V ⊂ ℝ³ 上的 m 个点与 ℝ³ 中的 n 个平面之间，建立了改进的关联界，利用了几何分解和关于代数曲线切割的最新结果。关键结果为 O(m²/³n²/³ + m⁶/¹¹n⁹/¹¹ logᵝ(m³/n) + m + n)，当点位于非线性曲面时，该界优于以往的一般界，其应用包括交比问题与 Möbius 变换。

ABSTRACT

In this paper we establish an improved bound for the number of incidences between a set $P$ of $m$ points and a set $H$ of $n$ planes in $\mathbb R^3$, provided that the points lie on a two-dimensional nonlinear irreducible algebraic variety $V$ of constant degree. Specifically, the bound is $$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}\log^β(m^3/n) + m + n + \sum_\ell |P_\ell|\cdot |H_\ell| ight) , $$ where the constant of proportionality and the constant exponent $β$ depend on the degree of $V$, and where the sum ranges over all lines $\ell$ that are fully contained in $V$ and contain at least one point of $P$, so that, for each such $\ell$, $P_\ell = P\cap\ell$ and $H_\ell$ is the set of the planes of H that contain $\ell$. In addition, $\sum_\ell |P_\ell| = O(m)$ and $\sum_\ell |H_\ell| = O(n)$. This improves, for this special case, the earlier more general bound of Apfelbaum and Sharir (see also Brass and Knauer as well as Elekes and Tóth). This is a generalization of the incidence bound for points and circles in the plane (cf. Aronov et al., Aronov and Sharir, Marcus and Tardos), and is based on a recent result of Sharir and Zahl on the number of cuts that turn a collection of algebraic curves into pseudo-segments. The case where $V$ is a quadric is simpler to analyze, does not require the result of Sharir and Zahl, and yields the same bound as above, with $β=2/11$. We present an interesting application of our results to a problem, studied by Rudnev, on obtaining a lower bound on the number of distinct cross-ratios determined by $n$ real points, where our bound leads to a slight improvement in Rudnev's bound.

研究动机与目标

• 改进 ℝ³ 中二维非线性不可约代数曲面 V ⊂ ℝ³ 上的点与 ℝ³ 中平面之间的关联界。
• 通过将关联图分解为完全包含在 V 中的直线及其剩余关联，分析关联关系。
• 将该界应用于离散几何中的现有结果，特别是关于不同交比与 Möbius 变换的问题。
• 利用双曲抛物面 Π 上的点-平面关联几何，细化对 k-丰富 Möbius 变换的分析。
• 证明改进的关联界可导出关于 n 个实点所确定的不同交比数的更紧下界。

提出的方法

• 将关联图 G(P,H) 分解为完全二部子图 Pᵢ × Hᵢ 的并集，其中每个 Pᵢ = P ∩ ℓᵢ，Hᵢ 由包含直线 ℓᵢ ⊂ V 的平面构成。
• 通过新颖地应用 Sharir 与 Zahl 关于将代数曲线切割为伪线段的结果，界定剩余关联 I₀(P,H)。
• 将 Möbius 变换建模为与双曲抛物面 Π: z = xy 相交的平面，其中点 (a,b,ab) 表示变换对。
• 应用定理 1.1，界定 Π 上 m = n² 个点与对应于 k-丰富变换的 N 个平面之间的关联。
• 通过将关联界与下界 kN ≥ k 比较，推导出 k-丰富变换数 N≥k 的上界。
• 利用推导出的界 N≥k = O(n⁴/k³ + n⁶/k¹¹/² log k + n²/k) 改进 Rudnev 对交比与全等五元组的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在常数次代数曲面与 ℝ³ 中平面之间的关联界上，超越一般界 O(m³/⁴n³/⁴ + m + n)？
• RQ2 完全位于曲面 V 中的直线所引发的关联如何影响整体关联计数？
• RQ3 映射集合 A ⊂ ℝ 到自身的 k-丰富 Möbius 变换数的最紧可能界是什么？
• RQ4 改进的关联界在多大程度上可增强关于 n 个实点所确定的不同交比数的下界？
• RQ5 平面与曲面 Π 之间不存在线性相交是否会影响关联几何及由此导出的界？

主要发现

• 关联界为 O(m²/³n²/³ + m⁶/¹¹n⁹/¹¹ logᵝ(m³/n) + m + n)，其中 β 依赖于曲面 V 的次数，该界优于点位于曲面上时的一般 Apfelbaum–Sharir 界。
• 当 V 为二次曲面时，β = 2/11，且分析避免了使用 Sharir–Zahl 的曲线切割结果。
• k-丰富 Möbius 变换的数量被限制为 N≥k = O(n⁴/k³ + n⁶/k¹¹/² log k + n²/k)，优于先前的 O(n⁶/k⁵) 界。
• 该改进的界导出了集合 A ⊂ ℝ 中全等五元组数的更紧上界 Q = O(n⁶)，相比先前的 O(n⁶ log n)。
• 因此，n 个实点所确定的不同交比数的下界从 Ω(n²⁴/¹¹ / log⁶/¹¹ n) 提升至 Ω(n²⁴/¹¹)。
• 分析确认，关联界中的第二项（含 logᵝ）不会破坏级数求和的收敛性，从而保持了推导界的有效性。