[论文解读] Inclusion relations and radius problems for a subclass of starlike functions

Prachi Gupta, Sumit Nagpal+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文研究了亚纯星形函数类 $\mathcal{S}^{*}_{car}$，其在心脏形映射 $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$ 下满足从属关系，建立了精确的包含关系，并计算了与其他星形子类关联的精确半径常数。主要贡献在于推导出 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-成员关系在各类函数类中的最优半径，应用包括部分和与卷积性质。

ABSTRACT

By considering the polynomial function $ϕ_{car}(z)=1+z+z^2/2,$ we define the class $\Scar$ consisting of normalized analytic functions $f$ such that $zf'/f$ is subordinate to $ϕ_{car}$ in the unit disk. The inclusion relations and various radii constants associated with the class $\Scar$ and its connection with several well-known subclasses of starlike functions is established. As an application, the obtained results are applied to derive the properties of the partial sums and convolution.

研究动机与目标

• 建立 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 与其他著名星形函数子类之间的包含关系。
• 计算 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 在各类函数类中的精确半径常数，包括 $\mathcal{F}_i^\chi$（$i=1,2,3$）。
• 利用从属原理分析 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 中函数的部分和与卷积的性质。
• 确定精确半径 $\rho$，使得两个星形函数的哈达玛积的 $\rho$-伸缩属于 $\mathcal{S}^{*}_{car}$。

提出的方法

• 定义 $\mathcal{S}^{*}_{car} = \mathcal{S}^{*}(\phi_{car})$ 为满足 $zf'(z)/f(z) \prec \phi_{car}(z)$ 的正规化解析函数类，其中 $\phi_{car}(z) = 1 + z + z^2/2$ 将单位圆盘映射到心脏形区域。
• 利用从属与畸变技术，计算 $\operatorname{Re}(\phi_{car}(z))$ 在 $|z| = r$ 上的最大值与最小值。
• 应用引理 2.2（通过从属关系实现圆盘包含）以确定图像 $zf'(z)/f(z)$ 落于心脏形区域 $\Omega_{car}$ 内的半径 $r$。
• 利用 Ma 和 Minda（1992）的已知结果，推导出 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 中函数的系数界，且对 $f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$ 的情形证明其最优性。
• 通过函数不等式建立 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 在与凸函数卷积下封闭的条件。
• 利用 $f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{q(t)-1}{t} dt\right)$（其中 $q \prec \phi_{car}$）的表示形式，分析 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 中函数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{S}^{*}_{car}$ 与其他星形函数子类之间，精确的包含关系是什么？
• RQ2 对于 $a \in (\phi_{car}(-1), \phi_{car}(1))$，最大的 $r > 0$ 是多少，使得圆盘 $\{w: |w - a| < r\}$ 包含于心脏形区域 $\Omega_{car}$ 中？
• RQ3 对于哪些 $\rho > 0$，两个星形函数的哈达玛积的 $\rho$-伸缩被保证属于 $\mathcal{S}^{*}_{car}$？
• RQ4 当 $\chi(z) = z + z^2/2$ 时，类 $\mathcal{F}_1^\chi$、$\mathcal{F}_2^\chi$ 与 $\mathcal{F}_3^\chi$ 的精确半径是多少？
• RQ5 从属关系与几何性质方面，$\mathcal{S}^{*}_{car}$ 中函数的部分和与卷积行为如何？

主要发现

• 类 $\mathcal{F}_3^{z/(1-z)^2}$ 的 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径为 $\rho_0 = (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$，且对函数 $f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$ 为精确值。
• 当 $\chi(z) = z + z^2/2$ 时，$\mathcal{F}_1^\chi$ 的 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径为 $s_1 \approx 0.13148$，即方程 $3r^3 + 6r^2 - 19r + 2 = 0$ 的最小正实根。
• 类 $\mathcal{F}_2^\chi$ 的 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径为 $s_2 \approx 0.134138$，即方程 $5r^3 - 15r + 2 = 0$ 的最小正实根。
• 类 $\mathcal{F}_3^\chi$ 的 $\mathcal{S}^{*}_{car}$-半径为 $s_3 \approx 0.19028$，即方程 $3r^3 + 2r^2 - 11r + 2 = 0$ 的最小正实根。
• 对于 $f, g \in \mathcal{S}^*$，函数 $h_\rho(z) = (f * g)(\rho z)/\rho$ 对所有 $\rho \leq (4 - \sqrt{13})/3 \approx 0.13148$ 属于 $\mathcal{S}^{*}_{car}$，且在 $f_0(z) = z(1+z)/(1-z)^3$ 时取等。
• 函数 $f_{car}(z) = z \exp(z + z^2/4)$ 达到最优系数界：$|a_2| \leq 1$，$|a_3| \leq 3/4$，$|a_4| \leq 5/12$，且 $f_{car}(\mathbb{D})$ 包含圆盘 $\{|w| < e^{-3/4} \approx 0.47236\}$。