[论文解读] Incoherent localized structures and hidden coherent solitons from the gravitational instability of the Schr\\"odinger-Poisson equation

Josselin Garnier, K. Baudin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 100被引用 8

一句话总结

本文研究了在引力不稳定性条件下，Schrödinger-Poisson 方程中非相干局域结构与隐藏相干孤子的出现。通过建立一个耦合的理论框架，将相干孤子与非相干波湍流相结合，表明非相干结构产生一种有效束缚势，从而稳定了原本无法检测到的孤子，该结论通过数值模拟得到验证，并以紧支撑谱形状为特征。

ABSTRACT

The long-term behavior of a modulationally unstable conservative nonintegrable system is known to be characterized by the soliton turbulence self-organization process. We consider this problem in the presence of a long-range interaction in the framework of the Schr\\"odinger-Poisson (or Newton-Schr\\"odinger) equation accounting for the gravitational interaction. By increasing the amount of nonlinearity, the system self-organizes into a large-scale incoherent localized structure that contains "hidden" coherent soliton states: The solitons can hardly be identified in the usual spatial or spectral domains, while their existence is unveiled in the phase-space representation (spectrogram). We develop a theoretical approach that provides the coupled description of the coherent soliton component (governed by an effective Schr\\"odinger-Poisson equation) and of the incoherent component (governed by a wave turbulence Vlasov-Poisson equation). The theory shows that the incoherent structure introduces an effective trapping potential that stabilizes the hidden coherent soliton, a mechanism that we verify by direct numerical simulations. The theory characterizes the properties of the localized incoherent structure, such as its compactly supported spectral shape. It also clarifies the quantum-to-classical correspondence in the presence of gravitational interactions. This study is of potential interest for self-gravitating Boson models of fuzzy dark matter. Although we focus our paper on the Schr\\"odinger-Poisson equation, we show that our results are general for long-range wave systems characterized by an algebraic decay of the interacting potential. This work should stimulate nonlinear optics experiments in highly nonlocal nonlinear (thermal) media that mimic the long-range nature of gravitational interactions.

研究动机与目标

• 理解具有长程相互作用的调制不稳定性、保守性、非可积系统的长期动力学行为。
• 解释Schrödinger-Poisson方程中自组织形成包含“隐藏”相干孤子的非相干局域结构的机制。
• 在长程引力相互作用存在的情况下，建立一个将相干孤子动力学与非相干波湍流耦合的理论框架。
• 阐明非相干结构作为有效势阱稳定孤子的作用，通过数值模拟加以验证。
• 在具有代数衰减相互作用的系统中建立量子-经典对应关系，该系统与模糊暗物质模型相关。

提出的方法

• 通过相空间分解，推导出相干孤子分量的有效Schrödinger-Poisson方程。
• 为非相干分量建立波湍流Vlasov-Poisson方程，描述统计波行为。
• 引入基于频 spectrogram 的表示方法，揭示在空间或谱域中不可见的孤子。
• 使用Ermend方程建模具有紧支撑谱形状的静态非相干结构。
• 应用virial定理验证静态解中的能量平衡，确认 $2\mathcal{H}_l + \mathcal{H}_{nl} = 0$。
• 通过模拟初始条件校准参数，利用质量与动能约束求解 $N_{st}(0)$、$p$ 和 $d_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Schrödinger-Poisson方程中的长程相互作用如何影响波湍流的自组织与孤子形成？
• RQ2 为何相干孤子在空间与谱域中隐藏，却能在相空间（频 spectrogram）表示中被检测到？
• RQ3 非相干结构在通过有效束缚势稳定孤子方面起到什么作用？
• RQ4 非相干结构的紧支撑谱形状如何影响孤子动力学？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至其他具有相互作用势代数衰减的长程波系统？

主要发现

• 非相干结构作为有效束缚势，稳定了原本在标准域中无法检测到的隐藏相干孤子。
• 孤子分量受有效Schrödinger-Poisson方程控制，而非相干分量遵循波湍流Vlasov-Poisson方程。
• 静态非相干结构表现出紧支撑谱形状，其支撑半径为 $k_c = \sqrt{\frac{2}{\alpha}}N_{st}(0)^{\frac{1}{2p}}\cdots$。
• virial定理成立，确认静态解中 $2\mathcal{H}_l + \mathcal{H}_{nl} = 0$，验证了能量平衡。
• 幅度 $N_{st}(0)$ 通过模拟初始条件确定，公式为 $N_{st}(0) = \frac{\mathcal{M}}{L^3} \frac{F_{3,p}^5 (p+1)^3 c_3^3}{(12\pi F_{3,p+1})^3}$，其中 $c_3 \simeq 3.17$。
• 结果可推广至具有代数衰减相互作用的长程波系统，暗示其在非局部介质中非线性光学中的相关性。