[论文解读] Incomplete Analytic Hierarchy Process with Minimum Weighted Ordinal Violations

Luca Faramondi, Gabriele Oliva+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Multi-Criteria Decision Making参考文献 57被引用 21

一句话总结

本文提出了一种新颖的两阶段不完整层次分析法（AHP）方法，通过首先优化有序一致性（使用加权满意度指数），然后在有序约束下通过对数最小二乘法计算基数权重，从而最小化加权有序违规。该方法在满足一个实际的充分条件时保证了解的唯一性，并在保持有序偏好方面优于最先进方法，同时在基数近似方面表现具有竞争力。

ABSTRACT

Incomplete pairwise comparison matrices offer a natural way of expressing preferences in decision making processes. Although ordinal information is crucial, there is a bias in the literature: cardinal models dominate. Ordinal models usually yield non-unique solutions; therefore, an approach blending ordinal and cardinal information is needed. In this work, we consider two cascading problems: first, we compute ordinal preferences, maximizing an index that combines ordinal and cardinal information; then, we obtain a cardinal ranking by enforcing ordinal constraints. Notably, we provide a sufficient condition (that is likely to be satisfied in practical cases) for the first problem to admit a unique solution and we develop a provably polynomial-time algorithm to compute it. The effectiveness of the proposed method is analyzed and compared with respect to other approaches and criteria at the state of the art.

研究动机与目标

• 解决AHP文献中基数模型占主导地位而有序约束常被忽略所导致的失衡问题，避免解违反偏好顺序。
• 开发一种方法，以保留不完整成对比较矩阵中编码的有序偏好，这类矩阵在现实决策中很常见。
• 在现实的充分条件下，为有序排序问题提供一个可证明唯一的解，确保稳定性和可复现性。
• 通过级联两个优化问题，将有序和基数信息相结合：首先最大化有序满意度，然后在有序约束下计算基数权重。
• 使用最大违规数（MVs）和总偏差数（TDs）等指标，与最先进方法在不一致性与密度水平变化下的表现进行评估。

提出的方法

• 提出加权有序满意度指数（WOSI），量化有序一致性的程度，对具有较大基数值的偏好赋予更高权重。
• 在第一阶段求解混合整数线性规划（MILP），以确定最大化WOSI的最优有序排序，确保在充分条件下解唯一。
• 在第二阶段求解受有序排序约束的约束对数最小二乘法（LLS）问题，以计算基数权重。
• 使用多项式时间算法求解第一阶段问题，确保计算效率和可扩展性。
• 通过仅考虑已知条目，将该方法应用于不完整成对比较矩阵，从而自然处理稀疏数据。
• 将解决方案整合为两步框架：(1) 加权违规最小化的有序优化，(2) 满足有序可行性的基数排序。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基数数据稀疏时，能否从不完整的成对比较中计算出唯一且稳定的有序排序？
• RQ2 如何系统性地保留基数排序方法中的有序偏好，而不损害近似精度？
• RQ3 按基数偏好强度加权有序违规对整体解的一致性有何影响？
• RQ4 与现有方法（如ILLS、EV、IDLS、IWLS）相比，所提出方法在有序和基数性能方面表现如何？
• RQ5 在何种条件下，第一阶段优化问题可保证产生唯一解？

主要发现

• 所提出的ILLS-MWOV方法在所有测试场景中均实现了最低的最大违规数（MVs），表明其在保持有序偏好方面表现卓越。
• 在存在模糊环路和高不一致性的情况下，该方法在MVs方面优于IDLS、EV和IWLS。
• 在总偏差数（TDs）方面，ILLS-MWOV与ILLS表现相当，略逊于IDLS，但显著优于EV和IWLS，表明其具有强大的基数近似质量。
• 在MV与TD的综合评估中，该方法优于EV和IWLS，显示出在有序与基数保真度之间有利的权衡。
• 在实际应用中很可能满足的充分条件下，第一阶段优化问题具有唯一解，确保了解的稳定性。
• 仿真结果表明，该方法在不同图密度（ρ = 0.5）和不一致性水平（γ）下均表现稳健，证实了其在多样化数据条件下的可靠性。