[论文解读] Independence of Four Projective Criteria for the Weak Invariance Principle

Olivier Durieu|ArXiv.org|Apr 11, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 13

一句话总结

本论文确立了在平稳遍历动力系统中弱不变原理的四个投影准则的两两独立性：鞅-余边界分解（Gordin）、Dedecker-Rio 准则、Maxwell-Woodroofe 条件，以及涉及正交投影 L² 范数之和的投影准则（Hannan）。通过构造具有独立分量的伯努利位移及定制序列，作者在正熵系统中构造了显式反例，证明这四个条件中任一都不蕴含其余任一，从而在一般非自适应情形下证明了它们的相互独立性。

ABSTRACT

Let $(X_i)_{i\in\Z}$ be a regular stationary process for a given filtration. The weak invariance principle holds under the condition $\sum_{i\in\Z}\|P_0(X_i)\|_2

研究动机与目标

• 解决关于四个已知投影准则是否在逻辑上独立的开放问题。
• 通过增加第四项——滤子增量上正交投影的 L² 范数之和——来扩展先前关于其中三项准则独立性的结果。
• 在具有正熵的遍历动力系统中构造显式反例，以证明每个准则都可在不满足其他准则的情况下成立。
• 确立投影准则 ∑‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ 与鞅-余边界分解、Dedecker-Rio 条件及 Maxwell-Woodroofe 条件的独立性。
• 在非自适应、平稳、遍历设定下，对这四个关键准则之间的所有逻辑关系进行完整分类。

提出的方法

• 使用独立 σ-代数 B 和 C 的乘积构造一个熵 ≥1 的基础遍历动力系统。
• 通过 T⁻ⁱF₀ 定义滤子 (Fᵢ)，其中 F₀ 由 C 和 {eᵢ}（i≤0）生成，且 eᵢ = e₀∘Tⁱ。
• 定义 f 为线性过程 f = ∑ᵢ aᵢξᵢ，其中 ξᵢ 为 i.i.d. 的 {−1,1} 变量，并设 aᵢ = i⁻³ᐟ² 以控制衰减速率。
• 使用正交投影算子 Pₖ 投影到 Hₖ⊖Hₖ₋₁ 上，表达投影准则 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞。
• 将 P₀(f∘Tⁱ) 分解为两部分：I₁(i) 涉及 Aₖ 的指示函数，以及 I₂(i) 涉及对称差 AₖΔT⁻ⁱAₖ。
• 通过控制 μ(AₖΔT⁻ⁱAₖ) ≤ εₖ，证明 ∑ᵢ ‖I₂(i)‖₂ ≤ ∑ₖ θₖ√εₖ < ∞，在 (θₖ) 与 (εₖ) 满足特定假设下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 投影准则 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ 可以成立，而鞅-余边界分解条件不成立吗？
• RQ2 Dedecker-Rio 准则可以成立，而投影准则不成立吗？
• RQ3 Maxwell-Woodroofe 条件可以成立，而投影准则不成立吗？
• RQ4 投影准则是否蕴含其余三个准则中的任意一个？
• RQ5 在平稳过程的一般非自适应情形下，这四个准则是否两两独立？

主要发现

• 投影准则 ∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ < ∞ 与鞅-余边界分解条件相互独立。
• 投影准则与 Dedecker-Rio 准则相互独立，后者涉及 ∑ₖ f𝔼(f∘Tᵏ|F₀) 在 L¹ 中的收敛性。
• 投影准则与 Maxwell-Woodroofe 条件相互独立，后者要求 ∑ₙ ‖𝔼(Sₙ(f)|F₀)‖₂ / n³ᐟ² < ∞。
• 对于四个准则中的任意一对，均存在一个在正熵遍历动力系统上定义的 L² 函数，满足其中一个准则但不满足另一个。
• 在 Aₖ 互不相交且对每个 i 最多只有一个 k 满足 Nₖ = i 的构造下，∑ᵢ ‖P₀(f∘Tⁱ)‖₂ 收敛当且仅当 ∑ₖ θₖ√μ(Aₖ) < ∞。
• 该构造确保误差项 I₂(i) 的 L² 范数被控制在 ∑ₖ θₖ√εₖ 以内，且在给定 (θₖ) 与 (εₖ) 的假设下该和为有限。