[论文解读] Index, eta and rho-invariants on foliated bundles

Moulay-Tahar Benameur, Paolo Piazza|ArXiv.org|Sep 12, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 30

一句话总结

本文在 Baum-Connes 假设下，建立了在叶度量不变的横截测度下，叶丛上的符号算子的叶状 rho-不变量的同伦不变性，将伽罗瓦覆叠的情形推广至测度叶丛。本文引入了叶状 rho-不变量，分析了其稳定性与度量无关性，并利用泛函演算、冯诺依曼迹及参数型技术，在 Connes-Skandalis 希尔伯特模与叶状 Dirac 算子的背景下证明了同伦不变性。

ABSTRACT

We study primary and secondary invariants of leafwise Dirac operators on foliated bundles. Given such an operator, we begin by considering the associated regular self-adjoint operator $D_m$ on the maximal Connes-Skandalis Hilbert module and explain how the functional calculus of $D_m$ encodes both the leafwise calculus and the monodromy calculus in the corresponding von Neumann algebras. When the foliation is endowed with a holonomy invariant transverse measure, we explain the compatibility of various traces and determinants. We extend Atiyah's index theorem on Galois coverings to these foliations. We define a foliated rho-invariant and investigate its stability properties for the signature operator. Finally, we establish the foliated homotopy invariance of such a signature rho-invariant under a Baum-Connes assumption, thus extending to the foliated context results proved by Neumann, Mathai, Weinberger and Keswani on Galois coverings.

研究动机与目标

• 为具有横截测度的叶丛丛上的符号算子定义并研究叶状 rho-不变量。
• 在叶状同伦下，建立叶状 rho-不变量的稳定性和度量无关性。
• 将阿蒂yah的指标定理推广至具有保持单值性的横截测度的叶丛。
• 在关联广群的 Baum-Connes 猜想下，证明叶状 rho-不变量的同伦不变性。
• 通过冯诺依曼代数与迹，统一并推广叶丛空间中的次级指标不变量（eta 与 rho）。

提出的方法

• 使用最大 Connes-Skandalis 希尔伯特模来定义一个正则自伴算子 $\mathcal{D}_m$，该算子在冯诺依曼代数中编码了叶状与单值性演算。
• 对 $\mathcal{D}_m$ 应用泛函演算，将叶状 Dirac 算子与叶丛的单值性与单值结构联系起来。
• 通过路径 $\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t))$ 的单位算子迹，引入叶状 eta-不变量，使用冯诺依曼迹 $\tau^\nu_\mathcal{F}$。
• 通过比较路径上的正规行列式与平均行列式，利用 Fack 与 Kosaki 的奇异数值估计，建立 rho-不变量的同伦不变性。
• 采用基于参数型的方法来局部化指标，通过余项 $R_0^N$ 与 $R_1^N$ 将 Atiyah-Bott 公式适配至叶丛情形。
• 将 Baum-Connes 映射应用于离散广群 $T \rtimes \Gamma$，在该映射为单射与满射的假设下，证明同伦不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 rho-不变量推广至具有保持单值性的横截测度的叶丛丛？
• RQ2 叶状 rho-不变量是否与叶上的黎曼度量无关？
• RQ3 在何种条件下，叶状 rho-不变量在叶状同伦下保持不变？
• RQ4 能否将符号 rho-不变量的同伦不变性从伽罗瓦覆叠推广至测度叶丛？
• RQ5 迹 $\tau^\nu$ 与 $\tau^\nu_\mathcal{F}$ 如何与冯诺依曼代数设定下 Dirac 算子的泛函演算相互作用？

主要发现

• 叶状 rho-不变量 $\rho^\nu(D^{\rm sign}; V, \mathcal{F})$ 与叶丛的黎曼度量无关。
• 叶状 eta-不变量通过路径的导数的迹定义：$\tau^\nu_\mathcal{F}\left( \frac{d}{dt} \left[ -\exp(i\pi\chi(\epsilon B_t)) \right]_{N_\epsilon} \right)$，并在冯诺依曼代数设定下被证明是良定义的。
• 正规行列式与平均行列式之间的差异由奇异数值估计控制，确保当 $\epsilon \to 0$ 时收敛于零。
• 在 Baum-Connes 映射 $T \rtimes \Gamma$ 为同构的假设下，建立了叶状 rho-不变量的同伦不变性。
• 证明依赖于将行列式差异分解为三项 $A_\epsilon$、$B_\epsilon$ 与 $C_\epsilon$，其中由于传播控制，$B_\epsilon = 0$，且 $A_\epsilon, C_\epsilon \to 0$ 当 $\epsilon \to 0$。
• 关键技术步骤是将差值 $\chi(\tilde{B}_s) - \chi(\epsilon \tilde{B}_s)$ 的 $L^1$-范数通过奇异数值估计进行约化，利用渐近行为 $\mu_s(\tilde{D}') \sim s^{2/p}$（$p$-维叶）。