[论文解读] Index Theory for Coverings

Boris Vaillant|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文为具有柱形端的非紧流形上的狄拉克算子建立了 L²-Γ-指标定理，将阿蒂yah的Γ-指标理论扩展至非紧情形。通过引入狄拉克算子的谱修正，并结合热核估计与Γ-迹技巧，证明了一个类似于阿蒂yah-帕多利-辛格指标定理的公式，将 L²-Γ-指标与Γ-η-不变量及特征类联系起来。

ABSTRACT

We establish the basics of the analysis of operators on coverings of manifolds with cylindrical ends with a group of deck transformations $Γ$. We prove the $Γ$-analogue of the Atiyah-Patodi-Singer formula for Dirac operators on such coverings.

研究动机与目标

• 将Γ-指标理论从紧流形推广至具有有界几何的非紧流形，特别是具有柱形端的流形。
• 在非紧流形的覆盖上定义并分析狄拉克算子的 L²-Γ-指标。
• 为具有柱形端的流形建立阿蒂yah-帕多利-辛格指标定理的Γ-类比。
• 阐明狄拉克算子在边界上 0 为谱集中孤立点这一条件的作用。
• 开发一种用于比较谱修正前后零空间Γ-维数的记账程序。

提出的方法

• 使用Γ-Hilbert模与Γ-迹，定义非紧流形覆盖上算子的Γ-指标。
• 应用具有有限传播速度的椭圆算子在有界几何流形上的热核估计。
• 在边界上引入狄拉克算子的谱修正 $\overline{D}^{M} + f(\overline{D}^{M})$，以确保 0 为孤立谱点。
• 采用记账程序比较原算子与修正算子零空间的Γ-维数。
• 结合梅泽（Meise）的 L²-指标定理与罗（Roe）的Γ-指标定理方法，并引入热核技巧。
• 使用克利福德代数约定与分次迹，计算指标公式中的特征类与不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有柱形端的非紧流形上的狄拉克算子定义并计算 L²-Γ-指标？
• RQ2 当 0 不是谱中的孤立点时，谱修正确保Γ-指标良好定义的作用是什么？
• RQ3 Γ-η-不变量如何推广至非紧流形覆盖的情形？
• RQ4 能否在不假设边界上 0 为孤立谱点的条件下证明 L²-Γ-指标定理？
• RQ5 在群覆盖存在的情况下，L²-Γ-指标与经典的阿蒂yah-帕多利-辛格指标之间存在何种关系？

主要发现

• 在具有柱形端的覆盖 $\overline{N} \to N$ 上，狄拉克算子 $\overline{D}$ 的 L²-Γ-指标满足一个类似于阿蒂yah-帕多利-辛格定理的公式。
• 主要结果为定理 6.11，即 L²-Γ-指标定理，其将修正后的 L²-Γ-指标表示为 $\widehat{A}$-亏格积分与边界算子Γ-η-不变量的一半之和。
• 当 $\overline{D}^M$ 的谱中 0 不是孤立点时，引入谱修正 $\overline{D}_{\epsilon,u}$ 以满足该条件，从而实现指标计算。
• 记账程序成功比较了 $\overline{D}$ 与 $\overline{D}_{\epsilon,u}$ 零空间的Γ-维数，使指标定理得以推广至一般情形。
• 证明了谱修正下的Γ-η-不变量 $\eta_\Gamma(\overline{D}^M + f(\overline{D}^M))$ 存在，这对指标公式至关重要。
• 结合热核估计与Γ-迹方法的证明技术，提供了一个自然的框架，可能比其他方法更适用于Γ-符号定理。