[论文解读] Indexes for Jumbled Pattern Matching in Strings, Trees and Graphs

Ferdinando Cicalese, Travis Gagie+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了用于字符串、树和图中乱序模式匹配的高效索引结构，支持对多重集查询的快速近似或精确匹配。它引入了一种O(n)空间的索引结构，适用于具有两种颜色的树，支持在(1+ε)因子内的近似匹配查询，时间复杂度为O(|M|)，显著减少了空间占用，同时保持了实际应用中的高效查询性能。

ABSTRACT

We consider how to index strings, trees and graphs for jumbled pattern matching when we are asked to return a match if one exists. For example, we show how, given a tree containing two colours, we can build a quadratic-space index with which we can find a match in time proportional to the size of the match. We also show how we need only linear space if we are content with approximate matches.

研究动机与目标

• 设计用于字符串、树和图中乱序模式匹配的高空间效率索引，其中查询为颜色的多重集（Parikh向量）。
• 在树和路径等结构化数据中，实现精确匹配和近似匹配的快速查询响应时间。
• 将空间复杂度从O(n²)降低至O(n)，同时保持近似匹配的次线性查询时间。
• 通过生成树分解，将现有二进制字符串结果推广至树和图。
• 通过分层采样和对数缩放，实现空间与查询时间之间的权衡，尤其适用于大规模多重集。

提出的方法

• 构建一个O(n)空间的数据结构，存储大小为2的幂次以及白色节点数量增加(1+ε)倍的大小下的代表性连通子图，确保覆盖所有相关子图类型。
• 使用线性空间表示法（引理3），每棵子图以O(w)空间存储，支持在O(m)时间内重建大小为m的子图。
• 对于给定的多重集M，通过采样子图检索大小为|M|时白色节点数最少和最多的最近子图，确保近似误差在(1+ε)因子以内。
• 通过扩展或修剪采样子图（H_min和H_max）至大小|M|，构建近似匹配，同时保持连通性并近似颜色频率。
• 利用树的结构特性，在添加或删除节点时确保子图保持连通，从而维持O(|M|)的重建时间。
• 对颜色频率应用对数缩放，以减少存储的子图数量，最坏情况下总大小为O(n log n)，但通过关键引理对子图表示进行优化，实现O(n)总大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为具有两种颜色的树设计一个O(n)空间索引，使其支持在(1+ε)因子内近似匹配的O(|M|)时间查询？
• RQ2 如何在保持高效查询时间的前提下，将现有O(n²)空间索引在树中用于精确乱序模式匹配的空间复杂度降低？
• RQ3 是否可以通过生成树和分层采样，将高效的索引技术从二进制字符串推广至树和图？
• RQ4 在彩色树的乱序模式匹配中，空间、查询时间和近似质量之间存在何种权衡？
• RQ5 我们能否仅使用O(n)空间，实现对大规模多重集的次线性查询时间，即使无法保证精确匹配？

主要发现

• 可为具有两种颜色的树构建O(n)空间索引，支持在(1+ε)因子内近似匹配的O(|M|)时间查询，其中每种颜色的频率均接近目标多重集M。
• 通过仅在大小为2的幂次以及白色节点数增加(1+ε)倍的点采样子图，将空间复杂度从O(n²)降低至O(n)，确保存储的子图数量呈对数增长。
• 由于关键引理（引理3）的存在，采样子图的总大小为O(n)，该引理支持紧凑表示和O(m)时间内对大小为m的子图进行高效重建。
• 对于未被直接采样的大小为|M|的多重集，通过扩展或修剪最近的采样子图构建H_min和H_max，确保近似误差在(1+ε)因子以内。
• 若存在在(1+ε)因子内的近似匹配，查询算法可正确识别；若不存在，则返回空结果，且时间复杂度为O(|M|)。
• 该方法可通过生成树推广至图，完整论文版本中已部分扩展至一般图。