[论文解读] Induced subdivisions of $K_{d+1}$ in graphs of high girth

António Girão, Zach Hunter|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2026

Finite Group Theory Research被引用 0

一句话总结

作者证明当 d ≥ 10^8 且 girth 至少 10^8 时，任意最小度数为 d 的图都包含一个 K_{d+1} 的诱导分割的子图。

ABSTRACT

In this paper, we show that for all $k\geq 10^8$, every graph with minimum degree $k$ and girth at least $10^8$ contains an induced subdivision of a $K_{k+1}$. This answers a problem asked by Kühn and Osthus (originally attributed to Shi).

研究动机与目标

• 在高 girth 下将诱导分割作为对已知拓扑团结果的强化进行研究的动机。
• 证明高 girth 加上较大最小度数强制存在 d 可达到 10^8 的诱导 K_{d+1}-分割。
• 提供一个自包含的概率与极值图框架以证明诱导分割的存在性。
• 发展结构引理，将问题化简为寻找具有小边界的高度连通子结构。

提出的方法

• 利用 Lovász Local Lemma 处理在构造有利子结构时的概率选择。
• 利用关于分割与联结性的已知结果构建诱导的 K_{d+1}-分割。
• 从精心选择的顶点集合及相关的短诱导路径构建一个辅助图以实现一个分割。
• 应用退化、边界论证和高 girth 约束以确保诱导性与路径的两两不相交。
• 迭代结构分解以产生具有合适分支顶点的高度连通子图。
• 通过分支顶点配置导出诱导的 K_{d+1}-分割的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个函数 h(r)，使得每个最小度数至少为 r 且 girth 至少为 h(r) 的图包含一个 K_{r+1} 的诱导分割？
• RQ2 对于大的 r，是否可以将 h(r) 选择为独立于 r 的绝对常数？（特别是对于大 r）
• RQ3 在高 girth 下，哪些结构机制（退化性、连通性、边界大小）保证诱导分割？
• RQ4 概率方法如何与极值图构造相互作用以在稀疏设置中产生诱导分割？

主要发现

• 对于 d ≥ 10^8 且 girth 至少 10^8，任意最小度数为 d 的图都包含一个 K_{d+1} 的诱导分割（定理 1.1）。
• 本文发展了一组引理（退化性、边界控制、k 连通性与联结性）以保证存在能够产生诱导 K_{d+1}-分割的结构。
• 借助 Lovász Local Lemma 的概率构造得到一个子结构 H，其最小度至少为 d^6 且具有足够的可分支顶点，最终得到诱导分割。
• 该方法能处理非常不平衡的二部子图，并显示高 girth 能防止阻碍诱导性的短环路。
• 证明定理 1.1 的两种主要情形分析涵盖 A′ 的大子集存在与否，确保在所有考虑的构型中均成立。
• 该结果回应了 Shi 提出、Kühn 与 Osthus 提出的关于高 girth 下诱导分割的问题。