[论文解读] Induction, Coinduction, and Fixed Points: A Concise Survey (and Tutorial)

Moez A. AbdelGawad|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2018

Logic, programming, and type systems被引用 1

一句话总结

本综述在序理论、集合论、类型论、一阶逻辑和范畴论中统一了归纳与共归纳，通过不动点、代数与余代数揭示了它们的结构相似性与差异。该综述主张采用单子与余单子的范畴论基础，以统一形式系统与编程语言中的这些原理。

ABSTRACT

In this survey article (which hitherto is an ongoing work-in-progress) we present the formulation of the induction and coinduction principles using the language and conventions of each of order theory, set theory, programming languages' type theory, first-order logic, and category theory, for the purpose of examining some of the similarities and, more significantly, the dissimilarities between these various mathematical disciplines, and hence shed some light on the precise relation between these disciplines. Towards that end, in this article we discuss plenty of related concepts, such as fixed points, pre-fixed points, post-fixed points, inductive sets and types, coinductive sets and types, algebras and coalgebras. We conclude the survey by hinting at the possibility of a more abstract and unified treatment that uses concepts from category theory such as monads and comonads.

研究动机与目标

• 阐明归纳与共归纳在多种数学框架中的概念与形式关系。
• 识别序理论、集合论、类型论与范畴论中共同的结构，如不动点、预不动点与后不动点。
• 考察编程语言与形式逻辑中归纳类型与共归纳类型及集合的定义与应用方式。
• 突出代数与余代数在统一归纳与共归纳推理中的作用。
• 建议使用单子与余单子作为更高阶范畴论基础，以统一未来形式系统中的归纳与共归纳原理。

提出的方法

• 使用序理论的语言形式化归纳与共归纳，特别是通过Knaster-Tarski定理与不动点理论。
• 在类型论与范畴论中，通过初等代数与终余代数表达归纳类型与共归纳类型。
• 在一阶逻辑、集合论与编程语言类型系统之间映射不动点构造。
• 使用预不动点与后不动点分别表征归纳集合与共归纳集合。
• 应用范畴论构造，如单子（用于归纳结构）与余单子（用于共归纳结构），以统一推理原则。
• 比较各学科中的形式化表达，揭示其在递归与共递归处理上的异同。

实验结果

研究问题

• RQ1 归纳与共归纳在序理论、集合论、类型论、一阶逻辑与范畴论中如何体现？
• RQ2 在不同数学框架中，归纳类型、代数与不动点之间存在何种结构共性？
• RQ3 预不动点与后不动点在何种意义上分别对应于归纳与共归纳推理？
• RQ4 代数与余代数如何作为统一归纳与共归纳构造的形式化工具？
• RQ5 单子与余单子在形式系统中抽象统一归纳与共归纳方面发挥何种作用？

主要发现

• 归纳与共归纳是形式上的对偶概念，归纳基于最小不动点，共归纳基于最大不动点。
• Knaster-Tarski定理为在完备格中证明不动点的存在性与唯一性提供了基础工具。
• 归纳类型对应初等代数，共归纳类型对应终余代数，从而在范畴论中实现统一。
• 预不动点表征归纳集合，后不动点表征共归纳集合，提供了精确的逻辑刻画。
• 范畴论中使用单子与余单子，实现了对归纳与共归纳推理的更高阶抽象，从而实现统一。
• 本综述表明，尽管形式化语言各异，归纳与共归纳的核心原理在各学科中具有结构上的相互关联。