[论文解读] Inference for log Gaussian Cox processes using an approximate marginal posterior

Shinichiro Shirota, Alan E. Gelfand|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种伪边缘MCMC算法，用于在空间对数高斯随机场点过程（LGCPs）中实现高效推断，采用拉普拉斯近似估计超参数的近似边缘后验分布。通过将潜变量高斯过程与超参数解耦，并采用自适应调优和固定Fisher信息矩阵近似，该方法相比标准MCMC在细粒度离散化下实现了更快的混合速度和更低的计算成本。

ABSTRACT

The log Gaussian Cox process is a flexible class of point pattern models for capturing spatial and spatio-temporal dependence for point patterns. Model fitting requires approximation of stochastic integrals which is implemented through discretization of the domain of interest. With fine scale discretization, inference based on Markov chain Monte Carlo is computationally heavy because of the cost of repeated iteration or inversion or Cholesky decomposition (cubic order) of high dimensional covariance matrices associated with latent Gaussian variables. Furthermore, hyperparameters for latent Gaussian variables have strong dependence with sampled latent Gaussian variables. Altogether, standard Markov chain Monte Carlo strategies are inefficient and not well behaved. In this paper, we propose an efficient computational strategy for fitting and inferring with spatial log Gaussian Cox processes. The proposed algorithm is based on a pseudo-marginal Markov chain Monte Carlo approach. We estimate an approximate marginal posterior for parameters of log Gaussian Cox processes and propose comprehensive model inference strategy. We provide details for all of the above along with some simulation investigation for the univariate and multivariate settings. As an example, we present an analysis of a point pattern of locations of three tree species, exhibiting positive and negative interaction between different species.

研究动机与目标

• 解决在高维潜变量高斯过程中因重复进行Cholesky分解和矩阵求逆而导致的MCMC计算负担问题。
• 克服标准MCMC在LGCP模型中因超参数与潜变量之间强依赖性而引起的混合性能差和收敛缓慢的问题。
• 为单变量和多变量LGCPs开发一种可扩展的推断策略，在保持精度的同时降低计算成本。
• 实现对具有复杂依赖结构（如物种相互作用数据）的空间和时空点模式的实用贝叶斯推断。
• 通过拉普拉斯近似近似超参数的边缘后验分布，并在MCMC迭代过程中固定关键组件，以提高采样效率。

提出的方法

• 采用伪边缘MCMC框架，以目标超参数的近似边缘后验分布为目标，避免对高维潜变量高斯过程的直接采样。
• 对潜变量与超参数的联合后验分布应用拉普拉斯近似，以获得超参数边缘后验的可处理近似。
• 在MCMC迭代过程中固定潜变量场（ν）的Fisher信息矩阵的逆，以避免昂贵的重复计算，同时对回归系数（β）和依赖参数（ζ）更新该矩阵。
• 采用椭圆切片采样法高效采样潜变量高斯过程ν，避免步长调优并减少随机游走行为。
• 对回归系数β和依赖参数ζ使用流形MALA（MMALA）进行采样，其预处理矩阵基于Fisher信息矩阵构造，以改善混合性能。
• 通过梯度下降法进行最大后验估计（MAP）初始化参数，并使用最小对比估计量对ζ进行初始化，以确保稳定收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当处理细粒度离散化和高维潜变量高斯过程时，如何使空间LGCPs的MCMC推断在计算上更加高效？
• RQ2 在LGCPs的MCMC采样中，固定潜变量场ν的Fisher信息矩阵逆在多大程度上能改善混合性能并降低计算成本？
• RQ3 基于拉普拉斯近似的伪边缘方法是否能在避免直接采样高维潜变量的同时，实现对LGCP超参数的准确后验推断？
• RQ4 与标准MCMC和基于INLA的方法相比，该方法在多变量和单变量LGCP模型中的性能和准确性如何？
• RQ5 自适应调优和分量采样策略对具有复杂空间依赖性的LGCP模型中收敛性和混合性能的影响如何？

主要发现

• 所提出的采用固定Fisher信息矩阵的伪边缘MCMC方法通过避免重复求逆高维协方差矩阵，显著降低了计算成本。
• 在固定ν的Fisher信息矩阵逆的同时对β和ζ进行更新，可实现更快的收敛速度和更优的MCMC链混合性能。
• 采用椭圆切片采样法处理ν消除了对步长调优的需求，并相比随机游走Metropolis-Hastings方法提高了采样效率。
• 该方法在超参数后验推断方面表现准确，仿真研究中后验密度能紧密追踪真实值（如图5和图6中的φ = 1和φ = 5）。
• 通过自适应调优σ₀²使接受率为0.574，确保了参数空间的高效探索，且无需人工校准。
• 该方法在单变量和多变量LGCPs中均表现出可扩展性和有效性，已在三种树种（具有正负相互作用）的分析中得到验证。