[论文解读] Infinitary Cut-Elimination for Non-Wellfounded Parsimonious Linear Logic

Matteo Acclavio, Gianluca Curzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2023

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对非良基证明的无穷切削消去过程，适用于简约线性逻辑中的非良基证明，这是一种线性逻辑的变体，其中 !-模态被解释为通过最大不动点的流。通过使用有限近似和一个推进条件，作者证明了切削消去过程收敛于良定义的非良基证明，保持了正规性与推进条件，并通过解释的连续性建立了关系语义的正确性。

ABSTRACT

We investigate non-wellfounded proof systems based on parsimonious logic, a weaker variant of linear logic where the exponential modality ! is interpreted as a constructor for streams over finite data. Logical consistency is maintained at a global level by adapting a standard progressing criterion. We present an infinitary version of cut-elimination based on finite approximations, and we prove that, in presence of the progressing criterion, it returns well-defined non-wellfounded proofs at its limit. Furthermore, we show that cut-elimination preserves the progressing criterion and various regularity conditions internalizing degrees of proof-theoretical uniformity. Finally, we provide a denotational semantics for our systems based on the relational model.

研究动机与目标

• 为简约线性逻辑中的非良基证明开发一种切削消去过程，这是一种线性逻辑的变体，其中 !A 被解释为 A 的证明流。
• 通过全局推进条件在无穷证明中保持逻辑一致性，确保无限推导的良定义性。
• 证明通过有限近似实现的切削消去过程在极限下收敛于良定义的非良基证明，同时保持关键结构属性。
• 证明切削消去过程保持推进条件以及捕捉证明论一致性的各种正规性条件。
• 通过证明解释的连续性，建立该系统的关系语义的正确性，即解释与约化可交换。

提出的方法

• 引入一个用于非均匀指数的有限证明系统 nuPLL，以及一个用于均匀指数的 PLL，两者均基于简约逻辑。
• 定义这些系统的无穷非良基扩展，记为 nuPLL∞ 和 PLL∞，允许无限推导。
• 开发一种有限近似方案：对于每个无限共推导 D，定义一个收敛于 D 的有限近似序列 K(D)。
• 将切削消去定义为在有限近似上的超限约化过程，其极限产生一个良定义的非良基证明。
• 引入一个推进条件，以确保非良基证明中的逻辑一致性，该条件推广了标准的有效性条件。
• 通过有限近似的归纳解释构建关系语义，并证明连续性：{{D}} = ⋃{{D′}}，其中 D′ ∈ K(D)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过有限近似将切削消去过程扩展到简约线性逻辑中的非良基证明？
• RQ2 在有限近似上进行的切削消去过程的极限是否产生一个良定义的非良基证明？
• RQ3 在无穷设置下，推进条件是否在切削消去过程中被保持？
• RQ4 正规性条件（如均匀性、有界性）是否在切削消去过程中得以保留？
• RQ5 关系语义是否与切削消去过程一致，即解释是否与约化可交换？

主要发现

• 通过有限近似实现的切削消去过程在极限下收敛于一个良定义的非良基证明，确保了该过程在无穷设置下的意义性。
• 推进条件在切削消去过程中被保持，保证了约化过程中逻辑一致性的维持。
• 各种正规性条件——内化了证明论一致性的程度——在切削消去过程中被保持，表明了结构属性的稳健性。
• 在关系语义中，一个共推导的解释是其有限近似解释的并集，从而确立了连续性。
• 切削消去与关系语义是正确的：若 D →cut D′，则 {{D}} = {{D′}}。
• 在包含 ??d 规则（挖掘）的系统中，切削消去无法在保持语义的前提下约化为无切削的共推导，表明其与标准线性逻辑行为存在根本性差异。