[论文解读] Infinite algebraic subgroups of the real Cremona group

Maria Fernanda Robayo, Susanna Zimmermann|Osaka City University (Osaka City University)|Dec 1, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在共轭意义下对实 Cremona 群 Birℝ(ℙ²) 的所有极大无限代数子群进行了分类，识别出八类不同的共轭类，这些类源自度数为 6 的实 del Pezzo 曲面和 ℙ¹ 上的实二次曲面束。关键结果是实平面 Cremona 群不能由其无限代数子群的可数并集生成，凸显了该群在无限或可数生成之外的不可数代数复杂性。

ABSTRACT

We give the classification of the maximal infinite algebraic subgroups of the real Cremona group of the plane up to conjugacy and present a parametrisation space of each conjugacy class. Moreover, we show that the real plane Cremona group is not generated by a countable union of its infinite algebraic subgroups.

研究动机与目标

• 在共轭意义下对实 Cremona 群 Birℝ(ℙ²) 的所有极大无限代数子群进行分类。
• 为每一类此类子群的共轭类提供参数化空间。
• 研究实 Cremona 群是否可由其无限代数子群的可数并集生成。
• 理解实有理曲面上双有理微分同构与代数群作用的结构。

提出的方法

• 利用最小实光滑射影曲面的分类，特别是度数为 6 的实 del Pezzo 曲面和 Hirzebruch 曲面。
• 通过其 Picard 群作用和几何实现分析实有理曲面的自同构群。
• 利用初等链和双有理映射理论对代数子群的共轭类进行分类。
• 应用阿贝尔化映射 Birℝ(ℙ²) → ⊕ℝ ℤ/2ℤ，以检验子群在商群中是否非平凡。
• 通过实或非实共轭点的爆破等几何数据，显式构造每一类共轭类的参数化。
• 通过群论和几何论证，确立所识别子群的极大性与非共轭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 Birℝ(ℙ²) 的无限代数子群是包含关系下的极大子群，且如何在共轭意义下进行分类？
• RQ2 度数为 6 的实 del Pezzo 曲面和实二次曲面束的自同构群如何影响实 Cremona 群的结构？
• RQ3 实 Cremona 群是否可由其无限代数子群的可数并集生成？
• RQ4 这些无限代数子群在阿贝尔化映射 Birℝ(ℙ²) → ⊕ℝ ℤ/2ℤ 下的像是什么？
• RQ5 被爆破点的几何构型（实点或非实共轭点对）如何影响自同构群的结构？

主要发现

• 在 Birℝ(ℙ²) 中，恰好存在八类共轭类的极大无限代数子群，其来源为度数为 6 的实 del Pezzo 曲面和实二次曲面束。
• 极大子群包括 PGL₃(ℝ)、PO₃,₁(ℝ)、(PGL₂(ℝ) × PGL₂(ℝ)) ⋊ ⟨τ⟩，以及涉及 SO₂(ℝ)²、(ℝ*)² 和 GL₂(ℝ)/μₙ 的各种半直积。
• 通过在 ℱ₀ 上爆破两个实点得到的度数为 6 的实 del Pezzo 曲面的自同构群满足分裂正合列 1 → (ℝ*)² → G → D₆ → 1。
• 通过在 ℱ₀ 上爆破一对非实共轭点得到的度数为 6 的实 del Pezzo 曲面的自同构群满足分裂正合列 1 → SO₂(ℝ)² → G → D₆ → 1。
• 对于源自在 ℚ₃,₁ 上爆破非实共轭点的实二次曲面束，其自同构群满足 1 → SO₂(ℝ) ⋊ ℤ/2ℤ → G → HΔ → 1，其中 HΔ 保持 ℙ¹ 中一个有限点集不变。
• 实 Cremona 群 Birℝ(ℙ²) 不能由其无限代数子群的可数并集生成，因为某些子群（例如第 (7) 类）在阿贝尔化 ⊕ℝ ℤ/2ℤ 中具有非平凡像。