[论文解读] Infinite families of 2-designs from GA_1(q) actions

Hao Liu, Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过一般仿射群 $\mathrm{GA}_1(q)$ 在有限域 $\mathrm{GF}(q)$ 上的基块（源自分圆类与二次型）作用，构造了五类无限的 2-设计。通过精心选择具有可计算稳定子的基块，作者确定了这些 2-设计 的精确参数，并证明其对应的线性码达到最优或已知最佳参数，凸显了设计理论与编码理论之间的紧密联系。

ABSTRACT

Group action is a standard approach to obtain $t$-designs. In this approach, selecting a specific permutation group with a certain degree of transitivity or homogeneity and a proper set of base blocks is important for obtaining $t$-$(v, k, λ)$ designs with computable parameters $t, v, k$, and $λ$. The general affine group $\GA_1(q)$ is $2$-transitive on $\gf(q)$, and has relatively a small size. In this paper, we determine the parameters of a number of infinite families of $2$-designs obtained from the action of the group $\GA_1(q)$ on certain base blocks, and demonstrate that some of the $2$-designs give rise to linear codes with optimal or best parameters known. Open problems are also presented.

研究动机与目标

• 通过 $\mathrm{GA}_1(q)$ 在 $\mathrm{GF}(q)$ 上的特定基块作用，构造无限的 2-设计家族。
• 通过计算 $\mathrm{GA}_1(q)$ 中基块的块稳定子，确定所得 2-设计 的精确参数 ($v$, $k$, $\lambda$)。
• 探讨这些 2-设计 与线性码之间的联系，特别是其参数与最优性。
• 提出并讨论关于关联二元码及其对偶码的重量分布的开放猜想。
• 证明尽管 2-设计 的强度较低，仍可产生具有最优或最佳已知参数的线性码。

提出的方法

• 利用 $\mathrm{GA}_1(q)$ 在 $\mathrm{GF}(q)$ 上的 2-齐次作用，通过基块轨道的闭包生成 2-设计。
• 将 $\mathrm{GF}(q)^*$ 中阶为 $e$ 的分圆类用作基块，其中 $q = p^m$ 且 $q-1 = ef$。
• 计算 $\mathrm{GA}_1(q)$ 中每个基块 $B$ 的稳定子 $|G_B|$，以确定设计参数 $\lambda = \frac{k(k-1)}{|G_B|}$。
• 应用群作用与轨道计数方法，推导出五类不同无限家族 2-设计 的精确参数。
• 分析与设计相关的二元线性码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})$ 及其对偶码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})^\perp$。
• 通过 Magma 进行计算验证，确认小规模情形（$m = 4,6,8$）下猜想的重量分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $\mathrm{GA}_1(q)$ 作用于分圆基块所构造的 2-设计 的精确参数 ($v$, $k$, $\lambda$) 是什么？
• RQ2 从这些 2-设计 衍生出的线性码能否达到最优或最佳已知参数？
• RQ3 与 2-设计 关联的二元码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})$ 的重量分布是什么？是否遵循猜想的模式？
• RQ4 对偶码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})^\perp$ 是否如猜想所示，包含指数级数量的 3-设计 或 2-设计？
• RQ5 在何种条件下 $\mathrm{GA}_1(q)$ 作用可产生 3-设计？这与基块的结构有何关联？

主要发现

• 利用 $\mathrm{GA}_1(q)$ 与来自分圆类的基块，构造了五类无限的 2-设计，并明确确定了其参数。
• 定理 17 与定理 21 所得的 2-设计 产生二元线性码，其参数为 $[2^m, 2m+1, 2^{m-1} - 2^{m/2}]$，其中 $m \geq 4$ 且为偶数。
• 当 $m = 4$ 时，码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})$ 为最优；当 $m = 6$ 与 $m = 8$ 时，其参数为最佳已知。
• $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})$ 的重量分布猜想具有对称模式，且每种重量的计数符合特定规律，已通过计算在 $m = 4,6,8$ 时得到验证。
• 对偶码 $\mathcal{C}_2(\mathbb{D})^\perp$ 的参数猜想为 $[2^m, 2^m - 1 - 2m, 6]$，且其包含指数级数量的 2-设计。
• 该构造表明，即使 2-设计 强度较低，仍可产生具有最优或最佳已知参数的线性码，进一步凸显其在编码理论中的重要性。