[论文解读] Infinite families of $2$-designs from two classes of linear codes

Xiaoni Du, Rong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过有限域上的指数和计算权重分布，从两类线性码的固定权重码字支撑集构造了无限族2-设计——具体而言，是源自特定生成多项式的循环码的扩展码的双正交补码。作者明确确定了所得2-设计的参数，确立了其为具有精确块大小和重复数的无限族，这些参数取决于码参数和迹函数。

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs has attracted a lot of attention for both directions. It is well known that the supports of all codewords with a fixed weight in a code may hold a $t$-design. In this paper, by determining the weight distributions of two classes of linear codes, we derive infinite families of $2$-designs from the supports of codewords with a fixed weight in these codes, and explicitly obtain their parameters.

研究动机与目标

• 通过分析固定权重码字的支撑集，建立线性码与2-设计之间的联系。
• 利用指数和，确定有限域上两类特定线性码的权重分布。
• 从这些码中固定权重码字的支撑集中构造2-设计的无限族。
• 显式计算所得2-设计的参数（块大小、块数、重复数）。

提出的方法

• 作者分析了两类线性码，定义为源自特定生成多项式的循环码的扩展码的双正交补码。
• 他们使用迹函数 $ Tr: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p $ 定义码字为 $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx + c x)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $ 和 $ (Tr(ax^{p^l+1} + bx)_{x \in \mathbb{F}_q} + h) $，其中 $ a,b,c \in \mathbb{F}_q $，$ h \in \mathbb{F}_p $。
• 每个码字的汉明权重表示为 $ w_H(\mathbf{c}) = p^m - T(a,b,h) $，其中 $ T(a,b,h) $ 为方程 $ Tr(ax^{p^l+1} + bx) + h = 0 $ 的解数。
• 应用指数和技巧计算 $ T(a,b,h) $，利用 $ \mathbb{F}_p $ 和 $ \mathbb{F}_q $ 上的高斯和与特征和。
• 通过基于 $ m $ 的奇偶性以及 $ a^{(q-1)/(p+1)} $ 取值的分类，结合二次剩余与勒让德符号的性质，推导出权重分布。
• 固定权重码字的支撑集形成2-设计，其参数通过组合恒等式及此类码字的数量计算得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两类特定线性码的双正交补码中，固定权重码字的支撑集是否能形成2-设计？
• RQ2 码 $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ 和 $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $ 的精确权重分布是什么？
• RQ3 所得2-设计的参数如何依赖于域大小 $ q = p^m $、指数 $ l $ 以及 $ m $ 的奇偶性？
• RQ4 在何种条件下，给定权重码字的支撑集会形成具有恒定重复数的2-设计？
• RQ5 从这些码构造的每个2-设计的块数和重复数分别是多少？

主要发现

• 码 $ \overline{{\mathcal{C}_1^\perp}}^\perp $ 恰好有 8 个不同的非零权重：$ w_1 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}-1}(p-1)) $，$ w_2 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}(p-1)) $，$ w_3 = p^m - (p^{m-1} - p^{\frac{m}{2}}) $，$ w_4 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}-1}) $，$ w_5 = p^m - (p^{m-1} + p^{\frac{m}{2}}) $，以及它们的补码。
• 权重 $ w_4 $ 的码字数量为 $ A_{w_4} = n_{-1,0,0} + (p-1)n_{-1,0,1} $，其他权重亦有类似表达式，其系数取决于指数和计数。
• 对于 $ \overline{{\mathcal{C}_2^\perp}}^\perp $，当 $ m $ 为奇数时，权重分布包含三个不同的非零权重：$ p^{m-1} $，$ p^{m-1} \pm p^{\frac{m-1}{2}} $，每种出现 $ \frac{p^m(p-1)(p^m-1)}{2} $ 次。
• 当 $ m $ 为偶数且 $ a^{(q-1)/(p+1)} \neq (-1)^{m/2} $ 时，权重为 $ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1}(p-1) $ 和 $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}-1} $，分别出现 $ \frac{p^{m+1}(p^m-1)}{p+1} $ 和 $ \frac{p^{m+1}(p-1)(p^m-1)}{p+1} $ 次。
• 当 $ m $ 为偶数且 $ a^{(q-1)/(p+1)} = (-1)^{m/2} $ 时，权重包括 $ p^{m-1} - (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}}(p-1) $，$ p^{m-1} + (-1)^{m/2}p^{\frac{m}{2}} $，以及 $ p^{m-1} $，其出现次数分别为 $ \frac{p^{m-2}(p^m-1)}{p+1} $，$ \frac{p^{m-2}(p^m-1)(p-1)}{p+1} $，以及 $ (p^m-1)p^{m-1}(p-1) $。
• 这两类码中每个固定权重码字的支撑集均形成2-设计，其参数已显式计算，重复数 $ \lambda $ 由此类码字数量及组合恒等式推导得出。