[论文解读] Infinite products with strongly $B$-multiplicative exponents

Jean‐Paul Allouche, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文将 Woods-Robbins 无限乘积恒等式 $ P = 1/\sqrt{2} $ 推广至任意整数底数 $ B > 1 $，利用基于基-$ B$ 展开中数位计数导出的强 $ B $-乘性指数。提出一种新颖的代数技巧，通过将乘积按偶数和奇数下标拆分，将其扩展至包含 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $、$ \sin $ 和 $ \cos $ 函数的数位和的无限乘积，得到如 $ \prod_{n\geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ 的闭式解。

ABSTRACT

Let $N_{1,B}(n)$ denote the number of ones in the $B$-ary expansion of an integer $n$. Woods introduced the infinite product $P :=\prod_{n \geq 0} (\frac{2n+1}{2n+2})^{(-1)^{N_{1,2}(n)}}$ and Robbins proved that $P = 1/\sqrt{2}$. Related products were studied by several authors. We show that a trick for proving that $P^2 = 1/2$ (knowing that $P$ converges) can be extended to evaluating new products with (generalized) strongly $B$-multiplicative exponents. A simple example is $$ \prod_{n \geq 0} (\frac{Bn+1}{Bn+2})^{(-1)^{N_{1,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt B}. $$

研究动机与目标

• 将 Woods-Robbins 恒等式 $ P = 1/\sqrt{2} $ 推广至任意整数底数 $ B > 1 $，使用基于数位的指数。
• 为基于强 $ B $-乘性序列导出的无限乘积开发系统性评估方法。
• 将用于证明 $ P = 1/\sqrt{2} $ 的下标拆分技术推广至更高底数及更复杂的指数函数。
• 建立涉及 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $、$ \sin $ 和 $ \cos $ 函数的数位和在基 $ B $ 下的乘积的闭式评估。

提出的方法

• 将证明 $ P = 1/\sqrt{2} $ 时使用的下标拆分技巧适配至基-$ B$ 展开，利用强 $ B $-乘性序列的函数方程 $ u(Bn + k) = u(n)u(k) $。
• 使用数位计数函数 $ N_{k,B}(n) $，即在 $ n $ 的基-$ B$ 展开中数字 $ k $ 的出现次数，作为无限乘积中的指数。
• 应用恒等式 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} = \prod_{j} (-1)^{e_j(n)} $，其中 $ e_j(n) $ 为基-$ B$ 数位，将指数简化为数位上的乘性函数。
• 利用涉及 $ \sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q) $ 和 $ \cos $ 项的三角恒等式，定义具有周期行为的广义指数。
• 利用数位和 $ s_B(n) $ 及其奇偶性性质，推导乘积的收敛性与闭式评估。
• 结合代数运算与伽马函数及 Weierstrass 乘积的已知结果，验证并推广结果，尤其针对奇数 $ B $。

实验结果

研究问题

• RQ1 Woods-Robbins 乘积恒等式 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{2n+1}{2n+2} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ 能否推广至任意整数底数 $ B > 1 $？
• RQ2 当指数为 $ (-1)^{N_{k,B}(n)} $ 时，其中 $ N_{k,B}(n) $ 表示 $ n $ 的基-$ B$ 展开中数字 $ k $ 的计数，会产生哪些无限乘积恒等式？
• RQ3 用于证明 $ P = 1/\sqrt{2} $ 的下标拆分技术如何推广至基于数位和或三角函数的更复杂、周期性指数的乘积？
• RQ4 在什么条件下，形如 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{f(n)} $ 的乘积收敛于 $ 1/\sqrt{B} $ 或 $ 1 $，其中 $ f(n) $ 为强 $ B $-乘性函数？
• RQ5 能否利用涉及数位和的 $ \sin $ 和 $ \cos $ 函数的结果，推导出具有闭式解的新无限乘积恒等式？

主要发现

• 对所有整数 $ B > 1 $ 和 $ k = 1, \dots, B-1 $，恒等式 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^{N_{k,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{B}} $ 成立，推广了 Woods-Robbins 恒等式。
• 对整数 $ B > 1 $，$ q > 1 $，以及满足 $ 0 < p < q $ 的 $ p $，有 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{\sin(\pi k / q) \sin(\pi(2s_B(n) + k)/q)} = \frac{1}{\sqrt{B}} $，余弦项亦有类似恒等式，结果为 $ 1 $。
• 当 $ B $ 为奇数时，对奇数 $ k $，有 $ \prod_{n \geq 0} \left( \frac{Bn+k}{Bn+k+1} \right)^{(-1)^n} = \frac{1}{\sqrt{B}} $，该结果通过 Weierstrass 乘积表示伽马函数得到验证。
• 当 $ B = 2 $，$ k = 1 $ 时，恒等式 $ \prod_{n \geq 1} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)^{(-1)^{N_{1,2}(n)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ 作为广义公式的特例被恢复。
• 当 $ B = 3 $，$ q = 3 $，$ p = 1 $ 时，有 $ \prod_{n \geq \delta_k} \left( \frac{3n+k}{3n+k+1} \right)^{\eta(N_{k,3}(n))} = \frac{1}{3^{2/3}} $，其中 $ \eta(n) $ 为基于模 3 的 Thue-Morse 类似函数。
• 该方法在结合奇数 $ B $ 的偶数和奇数 $ k $-乘积时，可导出 $ \pi $ 的 Wallis 型乘积，通过伽马函数恒等式的代数运算恢复已知恒等式。