[论文解读] Infinite words without palindrome

Jean Berstel, Luc Boasson+2 more|ArXiv.org|Mar 13, 2009

History and Theory of Mathematics被引用 10

一句话总结

本文构造了在4字母和2字母字母表上的一致重复无限词，这些词在反转下封闭，但仅包含有限多个回文因子——这与普遍认为此类封闭性意味着无限多个回文的直觉相矛盾。该构造使用迭代同态和反转封闭词序列，在保持一致重复性和因子反转封闭性的同时，实现了有限的回文复杂度。

ABSTRACT

We show that there exists an uniformly recurrent infinite word whose set of factors is closed under reversal and which has only finitely many palindromic factors.

研究动机与目标

• 证明存在一类一致重复的无限词，其因子集合在反转下封闭，但仅包含有限多个回文因子。
• 挑战普遍认为因子集合的反转封闭性意味着无限多个回文的假设。
• 使用迭代同态和基于反转的词生成方法，在4字母和2字母字母表上构造显式例子。
• 分析由反转封闭序列导出的形态词的回文复杂度。
• 确立一致重复性和反转封闭性并不蕴含无限多个回文因子。

提出的方法

• 在4字母字母表上定义序列 (x_n)，其中 x_0 = 01，x_{n+1} = x_n 23 ilde{x}_n，其极限 x 即为无限词。
• 通过归纳法将 x_{p+n} 分解为 x_p 的块与 {23, 32} 的反转对，证明所有因子均以有界间隔出现，从而证明一致重复性。
• 通过证明若 w 是 x_n 的因子，则 ilde{w} 是 x_{n+1} 的因子，建立因子的反转封闭性。
• 通过证明不存在形如 aa 或 aba（a,b ∈ A）的因子，并证明 x 属于 ((01+10)(23+32))^ω，证明 Pal(x) 有限（具体为 Pal(x) = A）。
• 构造一个2字母同态 h，满足 h(0) = 101，h(1) = 1001，h(2) = 10001，h(3) = 100001，保持反转性，并生成 y = h(x)，其具有有限的回文因子。
• 通过对 z_n（定义为 z_0 = 01，z_{n+1} = z_n 01 ilde{z}_n）进行归纳，证明当 n ≥ 3 时，z_n 中不出现长度为13或14的回文，从而推出 |w| ≤ 12 对所有 w ∈ Pal(z) 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一类一致重复且在反转下封闭的无限词，但仅包含有限多个回文因子？
• RQ2 因子集合的反转封闭性是否意味着一致重复词中具有无限的回文复杂度？
• RQ3 哪些构造能产生一致重复、反转封闭且具有有限回文复杂度的无限词？
• RQ4 同态如何在导出的无限词中保持反转封闭性和回文有限性？
• RQ5 在2字母形态词 z 中，回文因子的最大长度是多少？

主要发现

• 在 {0,1,2,3} 上的无限词 x 一致重复，其因子集合在反转下封闭，但仅包含四个回文因子：0, 1, 2, 3。
• x 在 h 下的形态像 y = h(x) 一致重复且在反转下封闭，由于 Pal(x) 有限且 h 保持反转结构，故 Pal(y) 有限。
• 2字母词 z 定义为 z_n 的极限（z_{n+1} = z_n 01 ilde{z}_n），其不包含长度为13或14的回文因子，因此所有回文因子长度至多为12。
• 词 z 也可表示为 g(x)，其中 g(0) = g(2) = 0，g(1) = g(3) = 1，表明回文有限性在某些压缩同态下得以保持。
• 本文在4字母和2字母字母表上均构造了显式例子，表明反转封闭性和一致重复性并不必然导致无限回文复杂度。
• 折叠词 t 定义为 t_0 = 0，t_{n+1} = t_n 0 ilde{t}_n，其不满足反转封闭性，且 y = f(t)，其中 f(0) = 01，f(1) = 10，将本构造与已知折叠序列联系起来。