[论文解读] Infinitely many nonlocal symmetries and conservation laws for the (1+1)-dimensional Sine-Gordon equation

Xiaoyan Tang, Zu-feng Liang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

本文通过其 Bäcklund 变换（BT）推导出 (1+1) 维 Sine-Gordon 方程的无穷多非局部对称性和守恒律。通过利用 BT 的参数依赖解并应用参数展开，作者生成了无穷多组非局部对称性和守恒律，并进一步表明，通过展开，局部和非局部守恒律均可从 BT 本身系统性地生成。

ABSTRACT

Infinitely many nonlocal symmetries and conservation laws of the (1+1)-dimensional Sine-Gordon (SG) equation are derived in terms of its Bäcklund transformation (BT). Some special nonlocal symmetries and nonlocal conservation laws are obtained from the linearized equations of the SG equation and its BT. Furthermore, one can derive infinitely many nonlocal symmetries from a known nonlocal symmetry, but also infinitely many nonlocal conservation laws from a known nonlocal conservation law. In addition, infinitely many local and nonlocal conservation laws can be directed generated from BT through the parameter expansion procedure.

研究动机与目标

• 通过其 Bäcklund 变换（BT）推导 (1+1) 维 Sine-Gordon 方程的新非局部对称性和守恒律。
• 证明依赖参数的非局部对称性和守恒律可通过系统性的参数展开程序扩展为无穷序列。
• 表明局部和非局部守恒律均可直接从 BT 通过展开生成，从而扩展可积性技术的适用范围。
• 提供非局部对称性和守恒律的显式构造，以促进对不变解和新可积系统的研究。

提出的方法

• 推导 Sine-Gordon 方程及其 Bäcklund 变换的线性化方程（对称性方程），以识别非局部对称性。
• 构造三个依赖于参数的特殊非局部对称性，这些对称性源于 BT，用作生成无穷序列的种子。
• 对一个种子非局部对称性应用参数展开方法，以生成无穷多组新的非局部对称性。
• 从对称性方程推导出依赖参数的非局部守恒律，再通过相同的参数展开将其扩展为无穷序列。
• 利用 BT 展开的相容性条件，直接从 BT 本身生成局部和非局部守恒律。
• 通过检查展开级数中混合偏导数的相等性，验证所推导守恒律的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sine-Gordon 方程的非局部对称性能否从其 Bäcklund 变换系统性地生成？
• RQ2 如何利用单个非局部对称性或守恒律生成无穷多组此类对象？
• RQ3 能否通过展开直接从 Bäcklund 变换推导出局部和非局部守恒律？
• RQ4 Bäcklund 变换中的参数在生成对称性和守恒律的无穷族中起什么作用？
• RQ5 所推导的守恒律是否具有物理意义，能否用于构造不变解或新可积系统？

主要发现

• 从 Sine-Gordon 方程及其 Bäcklund 变换的线性化方程中显式推导出三个新颖的非局部对称性，均依赖于 BT 中的参数。
• 通过对其中一个非局部对称性应用参数展开，成功生成了无穷多组新的非局部对称性，证明了该方法的有效性。
• 推导出三个特殊的参数依赖非局部守恒律，与非局部对称性相关联，亦可通过相同参数展开扩展为无穷序列。
• Bäcklund 变换展开的相容性条件可产生无穷多组局部和非局部守恒律，包括前几项之外的非平凡守恒律。
• 显式推导出前五个局部守恒律的表达式，其中前两个为平凡，后续为非平凡，证实了该方法的实用性。
• 结果表明，非局部对称性和守恒律可系统性地生成，并可用于探索对称约化与新可积系统。