[论文解读] Infinitely supported Liouville measures of Schreier graphs

Kate Juschenko, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了群作用在可数集上时李乌ville性质的等价条件，提出一种方法以构造谢雷尔图上的无穷有界支撑李乌ville测度。证明了汤普森群 F 在二进分数上通过一个无穷有界支撑对称测度实现李乌ville作用，并表明某些灯夫群在非可约谢雷尔图上的作用也是李乌ville的，从而提供了新的非可约李乌ville作用的例子。

ABSTRACT

We provide equivalent conditions for Liouville property of actions of groups. As an application, we show that there is a Liouville measure for the action of the Thompson group $F$ on dyadic rationals. This result should be compared with a recent result of Kaimanovich, where he shows that the action of the Thompson group F on dyadic rationals is not Liouville for all finitely supported measures. As another application we show that there is a Liouville measure for lamplighter actions. This gives more examples of non-amenable Liouville actions.

研究动机与目标

• 为群作用在可数集上时的李乌ville性质提供等价条件。
• 证明在有限有界支撑测度下非李乌ville作用的系统中，存在非退化、无穷有界支撑的李乌ville测度。
• 证明汤普森群 F 在其在二进分数上的作用中，存在一个对称的、无穷有界支撑的李乌ville测度。
• 构造非可约谢雷尔图在某些无穷有界支撑测度下为李乌ville的实例，特别是灯夫群作用下的情况。
• 探讨此类测度对群及其作用可约性的含义，尤其与凯曼诺维奇关于汤普森群 F 的结果相关。

提出的方法

• 利用不可约、懒马尔可夫链在谢雷尔图上尾 σ-代数的平凡性与李乌ville性质之间的等价性。
• 应用基于转移概率收敛性的耦合论证：若测度 μ^(n)·x 与 μ^(n)·y 之间的总变差距离趋于零，则该作用为李乌ville的。
• 通过 G 上有限有界支撑测度 (ν_n) 的凸组合构造性方法，其中 ν_n 在 X 的有限子集 K_n 上逼近作用，误差 ε_n → 0。
• 使用一组支撑递增、耦合误差递减的测度 (ζ_j) 来构建 G 上的非退化测度 μ，使得该作用为 μ-李乌ville的。
• 将该方法应用于汤普森群 F，通过将 1/2 的轨道的有限子集映射到谢雷尔图中的“毛发”，其中生成元的作用类似于 Z，从而实现均匀测度逼近。
• 通过利用基群 A 的可约性，将该方法扩展至灯夫群：在 A 上构造具有小 ℓ¹-变差的测度 ν_n，然后将其提升至半直积 G ⋉ A。

实验结果

研究问题

• RQ1 汤普森群 F 在二进分数上的作用是否可能在有限有界支撑测度下非李乌ville，但存在非退化、无穷有界支撑的李乌ville测度？
• RQ2 是否存在非可约谢雷尔图，其支持无穷有界支撑的李乌ville测度？
• RQ3 群作用的李乌ville性质能否通过转移测度总变差距离的耦合条件来刻画？
• RQ4 若某作用存在李乌ville测度，是否意味着群或其稳定子群是可约的？
• RQ5 群在传递空间的有限子集上的作用在何种条件下仍保持李乌ville性质？

主要发现

• 在汤普森群 F 上存在一个非退化、对称、无穷有界支撑的测度 μ，使得其在 1/2 的轨道（即二进分数）上的作用为 μ-李乌ville的。
• 根据凯曼诺维奇的结果，F 在二进分数上的作用对任何非退化有限有界支撑测度均非李乌ville，但当使用无穷有界支撑时，该作用变为李乌ville。
• 对于任意可约群 G 及其可约正规子群 A，半直积 G ⋉ A 在其在 A 上的作用中存在非退化李乌ville测度。
• 某些灯夫群的谢雷尔图（如 ℤ/2ℤ ≀ G）是非可约的，但在某些无穷有界支撑测度 μ 下仍为 μ-李乌ville。
• 该方法通过 G 上的有限有界支撑测度序列 ν_n 在空间的有限子集 K_n 上实现，耦合误差 ε_n → 0。
• 该构造确保从两个相邻点出发的 n 步分布之间的总变差距离趋于零，从而蕴含李乌ville性质。