[论文解读] Infinitesimal spectral flow and scattering matrix

Nurulla Azamov|ArXiv.org|May 23, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文引入了无穷小谱流的绝对连续部分与奇异部分，通过沿分段线性路径的积分定义了谱移函数的相应分量。在特定条件下证明了路径无关性，并利用散射矩阵的时序指数表示，推导出一个变体的Birman-Kreïn公式，将谱移函数的连续部分与无穷小散射矩阵的迹联系起来。

ABSTRACT

In this note the notion of infinitesimal scattering matrix is introduced. It is shown that under certain assumption, the scattering operator of a pair of trace compatible operators is equal to the chronological exponential of the infinitesimal scattering matrix and that the trace of the infinitesimal scattering matrix is equal to the absolutely continuous part of the infinitesimal spectral flow. As a corollary, a variant of the Birman-Krein formula is derived. An interpretation of Pushnitski's $μ$-invariant is given.

研究动机与目标

• 通过无穷小谱流定义谱移函数的绝对连续部分与奇异部分。
• 在特定假设下（包括对Schrödinger算子），建立这些分量的路径无关性。
• 将散射矩阵表示为无穷小散射矩阵的时序指数。
• 推导出一个变体的Birman-Kreïn公式，其中谱移函数被其绝对连续部分所取代。
• 在存在嵌入本征值的情况下，将Pushnitski的μ-不变量解释为谱移函数奇异部分的负值。

提出的方法

• 通过无穷小散射矩阵的迹分解，将无穷小谱流分解为绝对连续部分与奇异部分。
• 在迹相容的算子仿射空间中，沿分段线性路径将散射矩阵表示为无穷小散射矩阵的时序指数。
• 将无穷小散射矩阵的迹识别为无穷小谱流的绝对连续部分。
• 利用时序指数的性质与迹相容性，证明谱移函数分量的路径无关性。
• 通过用谱移函数的绝对连续部分替代完整谱移函数，重新推导Birman-Kreïn公式，表明散射矩阵的行列式等于负2πi倍连续部分的指数。
• 在存在嵌入本征值的情况下，将Pushnitski的μ-不变量解释为谱移函数奇异部分的负值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在迹相容的算子仿射空间中，谱移函数分解为绝对连续与奇异部分是否与分段线性路径的选择无关？
• RQ2 能否沿此类路径将散射矩阵表示为无穷小散射矩阵的时序指数？
• RQ3 无穷小散射矩阵的迹与无穷小谱流的绝对连续部分有何关系？
• RQ4 在多大程度上可以仅用谱移函数的绝对连续部分重新表述Birman-Kreïn公式？
• RQ5 在存在嵌入本征值的情况下，谱移函数的奇异部分与Pushnitski的μ-不变量之间的确切关系是什么？

主要发现

• 谱移函数的绝对连续部分与奇异部分被定义为沿分段线性路径对相应无穷小谱流部分的积分。
• 在迹相容性与适当正则性假设下，谱移函数分解为连续与奇异分量的性质与分段线性路径的选择无关。
• 证明了散射矩阵可表示为无穷小散射矩阵的时序指数，该公式似乎为首次提出。
• 无穷小散射矩阵的迹等于无穷小谱流的绝对连续部分。
• 推导出一个Birman-Kreïn公式的变体，其中完整谱移函数被其绝对连续部分所取代。
• Pushnitski的μ-不变量被解释为谱移函数奇异部分的负值，特别是在Schrödinger算子存在嵌入本征值的情形下。