[论文解读] Infinitesimals, Imaginaries, Ideals, and Fictions

David Sherry, Mikhail G. Katz|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Historical Philosophy and Science被引用 11

一句话总结

本文重新評估萊布尼茨對無窮小量的觀念，主張儘管他將其視為虛構之物，但與可消除的類比詮釋（即『可消去的詮釋』）相比，更應以形式主義詮釋——類似於虛數根——來理解。作者指出，這種形式主義詮釋與萊布尼茨更深刻的哲學承諾一致，並支持其微積分與現代非標準分析之間的連續性。

ABSTRACT

Leibniz entertained various conceptions of infinitesimals, considering them sometimes as ideal things and other times as fictions. But in both cases, he compares infinitesimals favorably to imaginary roots. We agree with the majority of commentators that Leibniz's infinitesimals are fictions rather than ideal things. However, we dispute their opinion that Leibniz's infinitesimals are best understood as logical fictions, eliminable by paraphrase. This so-called syncategorematic conception of infinitesimals is present in Leibniz's texts, but there is an alternative, formalist account of infinitesimals there too. We argue that the formalist account makes better sense of the analogy with imaginary roots and fits better with Leibniz's deepest philosophical convictions. The formalist conception supports the claim of Robinson and others that the philosophical foundations of nonstandard analysis and Leibniz's calculus are cut from the same cloth.

研究动机与目标

• 根據當代詮釋，重新評估萊布尼茨無窮小量的哲學地位。
• 挑戰主流觀點，即萊布尼茨的無窮小量是可透過類比詮釋消除的邏輯虛構。
• 主張萊布尼茨對無窮小量的處理，與形式主義詮釋相比，更不適合以類比詮釋來理解。
• 證明形式主義詮釋能保留萊布尼茨將無窮小量與虛數根類比的哲學一致性。
• 建立萊布尼茨微積分與現代非標準分析之間的哲學連續性。

提出的方法

• 分析萊布尼茨文本中關於無窮小量處理的證據，區分其理想性與虛構性觀念。
• 對比『可消除』的類比詮釋（即無窮小量為可消除的虛構）與『形式主義』（規則導向）詮釋。
• 檢視萊布尼茨將無窮小量與虛數根類比的論證，以支持形式主義詮釋。
• 重建萊布尼茨的哲學架構，以顯示形式主義更符合其形而上學與認識論觀點。
• 比較萊布尼茨的方法與現代非標準分析（特別是羅賓森的框架），以突顯概念上的連續性。
• 運用原始資料的歷史與哲學分析，反對透過類比詮釋來消除無窮小量。

实验结果

研究问题

• RQ1 萊布尼茨如何理解無窮小量？它們是理想實體還是虛構之物？
• RQ2 為何萊布尼茨將無窮小量與虛數根進行有利比較？此比較暗示何種含義？
• RQ3 『可消除的虛構』之類比詮釋（即無窮小量為可消除的虛構）是否為萊布尼茨微積分的最佳詮釋？
• RQ4 形式主義詮釋是否更符合萊布尼茨的哲學承諾？
• RQ5 萊布尼茨的無窮小量與現代非標準分析之間，概念上的連續性有多高？

主要发现

• 萊布尼茨一貫將無窮小量視為虛構之物，但並非可透過類比詮釋消除的邏輯虛構。
• 形式主義詮釋——將無窮小量視為具用處、受規則約束的實體——更能解釋萊布尼茨將其與虛數根類比的現象。
• 萊布尼茨的哲學承諾，特別是其關於可能性與現實的形而上學，支持形式主義詮釋，而非類比詮釋。
• 形式主義的無窮小量觀念為萊布尼茨的微積分提供了連貫的基礎，避免了可消除性所帶來的問題。
• 萊布尼茨的無窮小量與羅賓森所發展的現代非標準分析基礎之間，存在強烈的概念連續性。
• 本文結論認為，形式主義詮釋在不需消除無窮小量的情況下，仍能保留其啟發性與數學效力。