[论文解读] (Infinity,2)-Categories and the Goodwillie Calculus I

Jacob Lurie|ArXiv.org|May 4, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 27

一句话总结

本文利用完全塞加空间和塞加范畴，为(∞,2)-范畴建立了基础框架，通过奎伦等价性统一了各类模型，并将这些方法应用于古德威尔i微积分，形式化了函子的线性化过程，证明了稳定∞-范畴中的单代数性结果。主要贡献在于构建了一个同伦框架，用于高阶范畴理论，使通过∞-双范畴和导出代数结构系统研究函子微积分成为可能。

ABSTRACT

The bulk of this paper is devoted to the comparison of several models for the theory of (infinity,2)-categories: that is, higher categories in which all k-morphisms are invertible for k > 2 (the case of (infinity,n)-categories is also considered). Our ultimate goal is to lay the foundations for a study of Tom Goodwillie's calculus of functors. To this end, we have included some simple applications to the theory of first derivatives.

研究动机与目标

• 使用完全塞加空间和塞加范畴，为(∞,2)-范畴开发一个连贯的同伦框架。
• 通过奎伦等价性，统一各种(∞,1)-范畴模型，如拟范畴、单纯范畴和塞加范畴。
• 通过在∞-双范畴中形式化函子的线性化，将古德威尔i微积分扩展到更高范畴设定。
• 在∞-范畴设定中应用巴尔-贝克型定理，证明稳定∞-范畴之间函子的单代数性结果。

提出的方法

• 使用完全塞加空间和塞加范畴作为(∞,2)-范畴的模型，其中后者被定义为满足塞加条件的双单纯集。
• 在塞加范畴上应用项目型和注入型模型结构，以在不同(∞,1)-范畴模型之间建立奎伦等价性。
• 在标度单纯集的上下文中，应用局部共纤维化结构的直化与反直化构造。
• 通过标度截面构造引入∞-双范畴结构，并将其与SetΔ⁺-范畴化范畴相关联。
• 在∞-范畴设定中应用巴尔-贝克定理，以证明稳定∞-范畴之间函子的单代数性。
• 使用函子Ω∞−n将谱∞-范畴中的余极限与底层范畴中的余极限关联起来，利用保守性与分裂单纯对象的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地使用完全塞加空间和塞加范畴对(∞,2)-范畴进行建模？这些模型之间有何关系？
• RQ2 在∞-范畴上的局部共纤维化背景下，直化与反直化起什么作用？
• RQ3 古德威尔i微积分如何扩展到更高范畴框架，特别是在函子线性化的意义上？
• RQ4 在∞-范畴设定中，当函子可复合时，单代数性在什么条件下能被保持？
• RQ5 谱∞-范畴中的余极限与底层稳定∞-范畴中的余极限之间存在何种关系？

主要发现

• 完全塞加空间的范畴与单纯范畴的范畴之间通过同伦相干单形化及其左伴随函子构成奎伦等价。
• 从完全塞加空间到预塞加范畴的遗忘函子是右奎伦等价，建立了不同(∞,1)-范畴模型之间的桥梁。
• 直化与反直化函子在取值于∞-范畴的函子与基∞-范畴上的纤维化之间提供等价关系。
• SetΔ⁺-范畴化范畴上的∞-双范畴结构与标度截面构造等价，为(∞,2)-范畴提供了一个模型。
• 当中间函子是保守的且最右函子是单代数时，单代数性在复合下被保持，这通过∞-范畴设定中的巴尔-贝克型定理得以证明。
• 若底层范畴D是稳定的且G是保守的，则Sp(D)中g-分裂单纯对象的余极限存在，并且在Ω∞−n下保持不变。