[论文解读] Information storing yields a point-asymmetry of state space in general probabilistic theories

Keiji Matsumoto, Gen Kimura|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文在广义概率理论（GPTs）中建立了信息存储容量与几何不对称性之间的基本联系，证明了闵可夫斯基不对称性度量（m）等于信息可存储性（n）减一。其核心贡献是信息-不对称性恒等式 m = n − 1，表明能够存储更多信息的系统其状态空间必然具有内在的不对称性，从而解释了高维量子态空间相较于 qubit 的对称 Bloch 球所表现出的复杂性。

ABSTRACT

It is known that the high-dimensional quantum state space is notoriously complicated in contrast with the beautiful Bloch ball of the qubit. We examined the mechanism behind this fact in the frame work of general probabilistic theory (GPT), and found rather general quantitative relations between the geometry of the state space and its information storing capability. The main result is the information-asymmetry identity, which (up to the constant term) equates the {\it Minkowski measure of asymmetry} with the {\it information storability} which, in addition to its own operational meaning, serves as an upper bound to common information measures such as semi-classical capacity. As a consequence, the asymmetry measure is lower-bounded by information storing capability of the state space, so the increase in the latter enhances the former. Coming back to the quantum systems, the $d$-level state space cannot be symmetric "because" it can store more than a single bit of information. Also, the Holevo capacity of any quantum channel with point-symmetric image is at most a single bit. In the course of the research, we applied Shannon theory to GPT, producing a couple of new results. Also presented is a new geometrical proof of known upper bounds to information measures.

研究动机与目标

• 理解为何高维量子态空间相较于对称的 qubit Bloch 球表现出几何上的复杂性。
• 识别物理理论中与信息存储能力相关联的内在几何特征。
• 在广义概率理论（GPTs）的框架下，构建超越量子与经典理论的一般性框架，以分离出结构性原理。
• 定义并操作化信息可存储性（n）的度量，该度量上界为半经典容量等标准信息度量。
• 在 GPTs 中建立几何不对称性（通过闵可夫斯基度量 m）与信息容量（n）之间的普遍恒等式。

提出的方法

• 引入闵可夫斯基度量 m 作为凸状态空间中点对称性的仿射不变几何度量，其中 m = 1 表示完美点对称性。
• 将信息可存储性 n 定义为在广义概率理论版本的经典-量子（CQ）信道协议中，可正确存储的消息的平均最大数量。
• 利用 GPT 中的凸对偶性和线性规划技术，推导出信息-不对称性恒等式 m = n − 1。
• 将香农信息论应用于 GPT，推导出信息度量的上界，包括半经典容量和最大相对熵。
• 利用半定规划的强对偶性，证明最优测量策略和 Helstrom 家族在态判别中的存在性。
• 证明 m ≥ n − 1 普遍成立，且在所有 GPT 模型中等号成立，并通过状态集合与测量的优化证明 m = n − 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在物理理论中，状态空间的何种几何性质与其信息存储容量存在根本关联？
• RQ2 为何 d > 2 的 d-水平量子系统状态空间在几何上复杂，而 qubit 状态空间却对称？
• RQ3 能否推导出一个普遍恒等式，将所有广义概率理论中的几何不对称性与信息容量联系起来？
• RQ4 信息可存储性 n 与其他标准信息度量（如可完美区分态的数量或半经典容量）有何关系？
• RQ5 是否存在针对 GPT 中信息度量已知上界的普遍几何证明？

主要发现

• 信息-不对称性恒等式 m = n − 1 在所有广义概率理论中普遍成立，将几何不对称性与信息容量联系起来。
• 闵可夫斯基不对称性度量 m 的下界为 n − 1，意味着更高的信息可存储性必然导致更大的几何不对称性。
• 对于 d-水平量子系统，m = d − 1，这解释了其状态空间在超越对称 qubit 情况下的复杂性（此时 m = 1）。
• 任何图像为点对称的量子信道的 Holevo 容量至多为 1 比特，这是该恒等式的直接推论。
• 信息可存储性 n 是半经典容量和可完美区分态数量的上界，且 qubit 的 n = 2。
• 对于任意有限状态集合和先验分布，均存在 Helstrom 家族，证明了信息可存储性度量的最优性。