[论文解读] Injective edge-coloring of sparse graphs

Baya Ferdjallah, Samia Kerdjoudj+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文研究了稀疏图的单射边染色，为子立方、二分及稀疏图类引入了单射色数索引（$χ′_{τεξθετερετερερ}$）的界。研究证明，子立方图最多需要 8 种颜色，子立方二分图最多需要 6 种，而最大平均度小于 $χ′_{τετετερετερερ}$ 的图最多需要 4、6 或 7 种颜色，具体取决于其平均度，且对外平面图给出了紧致界。

ABSTRACT

An injective edge-coloring $c$ of a graph $G$ is an edge-coloring such that if $e_1$, $e_2$, and $e_3$ are three consecutive edges in $G$ (they are consecutive if they form a path or a cycle of length three), then $e_1$ and $e_3$ receive different colors. The minimum integer $k$ such that, $G$ has an injective edge-coloring with $k$ colors, is called the injective chromatic index of $G$ ($χ'_{ extrm{inj}}(G)$). This parameter was introduced by Cardoso et extit{al.} \cite{CCCD} motivated by the Packet Radio Network problem. They proved that computing $χ'_{ extrm{inj}}(G)$ of a graph $G$ is NP-hard. We give new upper bounds for this parameter and we present the relationships of the injective edge-coloring with other colorings of graphs. The obtained general bound gives 8 for the injective chromatic index of a subcubic graph. If the graph is subcubic bipartite we improve this last bound. We prove that a subcubic bipartite graph has an injective chromatic index bounded by $6$. We also prove that if $G$ is a subcubic graph with maximum average degree less than $\frac{7}{3} $ (resp. $\frac{8}{3} $, $3$), then $G$ admits an injective edge-coloring with at most 4 (resp. $6$, $7$) colors. Moreover, we establish a tight upper bound for subcubic outerplanar graphs.

研究动机与目标

• 为稀疏图与子立方图的单射色数索引（$\\chi^\\prime_{τετετερετερερ}$）建立紧致上界。
• 研究单射边染色与其他图染色参数（如强边染色与诱导星森林性）之间的关系。
• 解决关于子立方图与子立方二分图所需最大颜色数的开放问题，并为未来研究提出猜想。
• 探讨单射边染色的列表版本，检验列表-单射色数索引是否等于标准单射色数索引。

提出的方法

• 利用结构图分析与基于情况的边扩展技术，扩展部分单射边染色。
• 在最大度与平均度受限制的子图上应用归纳法与反证法。
• 采用具有重复颜色序列（例如，$λλαα$）的染色模式，以在路径约束下保持单射性。
• 依赖于等价关系 $χ′_{τετετερετερερ}(G) = τετετερετερερ}(G)$，将单射边染色与诱导星森林性联系起来。
• 分析路径、环与完全图等极端情况，以推导基础界。
• 使用距离-2边约束：距离恰好为 2 的两条边或构成三角形的边不能共享相同颜色。

实验结果

研究问题

• RQ1 子立方图的最大单射色数索引是多少，能否将其下界控制在 8 以下？
• RQ2 子立方二分图的单射色数索引能否被 5 或 6 控制，且 6 是否为紧致界？
• RQ3 图的最大平均度如何影响其单射色数索引？
• RQ4 子立方外平面图的确切单射色数索引是多少？
• RQ5 对于所有图，列表-单射色数索引是否等于标准单射色数索引？

主要发现

• 任何子立方图的单射色数索引最多为 8。
• 子立方二分图的单射色数索引最多为 6。
• 若子立方图的最大平均度小于 $χ′_{τετετερετερερ}$，其单射色数索引最多为 4。
• 对于最大平均度小于 $χ′_{τετετερετερερ}$ 的子立方图，其单射色数索引最多为 6。
• 对于最大平均度小于 3 的子立方图，其单射色数索引最多为 7。
• 子立方外平面图的单射色数索引恰好为 6，且该界为紧致。