[论文解读] Inner-Approximating Reachable Sets for Polynomial Systems with Time-Varying Uncertainties

Xue Bai, Martin Fränzle+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 40被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种凸优化方法，用于计算具有时变不确定性的多项式系统的后向可达集的内逼近。通过将可达集表述为哈密顿-雅可比方程的粘性解的零下水平集，该方法通过单个半定规划（SDP）合成多项式粘性上解，在适当假设下保证了在测度意义下收敛到可达集内部。

ABSTRACT

In this paper we propose a convex programming based method to address a long-standing problem of inner-approximating backward reachable sets of state-constrained polynomial systems subject to time-varying uncertainties. The backward reachable set is a set of states, from which all trajectories starting will surely enter a target region at the end of a given time horizon without violating a set of state constraints in spite of the actions of uncertainties. It is equal to the zero sub-level set of the unique Lipschitz viscosity solution to a Hamilton-Jacobi partial differential equation (HJE). We show that inner-approximations of the backward reachable set can be formed by zero sub-level sets of its viscosity super-solutions. Consequently, we reduce the inner-approximation problem to a problem of synthesizing polynomial viscosity super-solutions to this HJE. Such a polynomial solution in our method is synthesized by solving a single semi-definite program. We also prove that polynomial solutions to the formulated semi-definite program exist and can produce a convergent sequence of inner-approximations to the interior of the backward reachable set in measure under appropriate assumptions. This is the main contribution of this work. Several illustrative examples demonstrate the merits of our approach.

研究动机与目标

• 解决在具有时变不确定性的状态约束多项式系统中计算安全的内逼近后向可达集的挑战。
• 克服基于网格的数值方法的局限性，这些方法在高维系统中常因内存和可扩展性问题而失败。
• 提供一种可处理的、基于凸规划的方法，生成收敛于后向可达集内部的内逼近。
• 为所制定的半定规划中多项式解的存在性与收敛性提供理论保证。
• 在传统基于网格的求解器因计算不可行而失效的实例中，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 后向可达集被表征为哈密顿-雅可比偏微分方程（HJE）的唯一Lipschitz粘性解的零下水平集。
• 通过HJE的多项式粘性上解的零下水平集构造内逼近。
• 制定一个单个半定规划（SDP），用于合成多项式粘性上解，其约束来自HJE和状态约束。
• 该SDP是凸的，可使用标准求解器求解，从而实现内逼近的高效计算。
• 该方法利用Kirszbraun扩张定理，确保粘性解的Lipschitz连续性与适定性。
• 在适当假设下，证明了内逼近在测度意义下收敛于后向可达集内部。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用凸优化方法，计算具有时变不确定性的多项式系统的后向可达集的收敛内逼近？
• RQ2 如何将基于非凸HJE的可达性问题转化为凸半定规划？
• RQ3 在此背景下，多项式上解的存在性与收敛性可提供哪些理论保证？
• RQ4 在何种情况下，该方法优于传统的基于网格或基于仿真方法？
• RQ5 逼近多项式的次数如何影响内逼近的精度与收敛性？

主要发现

• 所提方法通过单个半定规划计算内逼近，实现了中等高维系统的高效且可扩展的计算。
• 所制定的半定规划的解存在，并生成收敛于后向可达集内部在测度意义下的内逼近序列。
• 在示例3中，该方法成功计算了内逼近，而基于网格的求解器因内存限制而失败。
• 通过与基于仿真的估计结果对比，验证了随着多项式次数的增加，内逼近的精度提高。
• 在计算可行性方面，该方法优于传统基于网格的方法，尤其适用于具有超过四个状态变量的系统。
• 使用DSOS和SDSOS等模板多项式可进一步提升计算效率与可扩展性。