[论文解读] Input Novelty as a Control Metric for Time Varying Linear Systems

Gautam Kumar, Delsin Menolascino+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Neural dynamics and brain function参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出输入新颖性作为时变线性系统的新型控制度量，通过输入特征空间中的角度分离来定义新颖性。通过在能量约束下建立非凸最优控制问题，推导出连续时间下的最小新颖性控制解析解，以及离散时间下的凸松弛解，揭示了仅靠能量度量无法捕捉到的复杂网络（如无标度和小世界拓扑）中不同的可控制性特性。

ABSTRACT

This paper introduces a framework for quantitative characterization of the controllability of time-varying linear systems (or networks) in terms of input novelty. The motivation for such an approach comes from the study of biophysical sensory networks in the brain, wherein responsiveness to both energy and salience (or novelty) are presumably critical for mediating behavior and function. Here, we use an inner product to define the angular separation of the current input with respect to the past input history. Then, by constraining input energy, we define a non-convex optimal control problem to obtain the minimally novel input that effects a given state transfer. We provide analytical conditions for existence and uniqueness in continuous-time, as well as an explicit closed-form expression for the solution. In discrete time, we show that a relaxed convex optimization formulation provides the global optimal solution of the original non-convex problem. Finally, we show how the minimum novelty control can be used as a metric to study control properties of large scale recurrent neuronal networks and other complex linear systems. In particular, we highlight unique aspects of a system's controllability that are captured through the novelty-based metric. The result suggests that a multifaceted approach, combining energy-based analysis with other specific metrics, may be useful for obtaining more complete controllability characterizations.

研究动机与目标

• 开发一种分级的、非二元的可控制性度量，以捕捉时变线性系统对输入新颖性的响应能力。
• 解决基于能量的度量在捕捉生物网络和复杂网络中显著性与方向性效应方面的局限性。
• 通过当前输入与历史输入之间内积的角度分离，形式化输入新颖性。
• 分别在连续时间和离散时间下，推导最小新颖性控制的解析解与凸优化解。
• 展示基于新颖性的度量在区分复杂网络（如Barabasi-Albert网络和Watts-Strogatz网络）可控制性特性方面的实用性。

提出的方法

• 利用当前输入向量与历史输入向量之间的内积定义输入新颖性，量化输入特征空间中的角度分离。
• 建立一个非凸最优控制问题，以在固定输入能量约束下最小化输入新颖性，同时实现期望的状态转移。
• 推导连续时间线性时变系统中解的存在性与唯一性的解析条件。
• 在离散时间下提出非凸最小新颖性问题的凸松弛，证明其可获得全局最优解。
• 将最小新颖性控制框架应用于模拟和比较具有不同拓扑结构的大规模循环神经网络的可控制性。
• 利用解计算在指定动力学下合成网络中状态转移的最小新颖性与最小能量控制输入。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在时变线性系统中正式量化输入新颖性作为控制度量？
• RQ2 在能量约束下，实现期望状态转移的最小新颖性控制输入的解析结构是什么？
• RQ3 最小新颖性控制与最小能量控制在表征网络可控制性方面有何不同？
• RQ4 基于新颖性的控制为无标度和小世界拓扑等复杂网络的可控制性提供了哪些新见解？
• RQ5 最小新颖性度量能否揭示传统基于能量的可控制性度量所未捕捉到的系统特性？

主要发现

• 在能量约束下，连续时间线性时变系统的最小新颖性控制问题存在解析闭式解，且推导出了解的存在性与唯一性条件。
• 在离散时间下，非凸最小新颖性问题的凸松弛可获得全局最优解，从而实现高效计算。
• 对于Barabasi-Albert（无标度）网络和Watts-Strogatz（小世界）网络，最小新颖性随网络密度增加而上升，表明网络越密集，控制越困难。
• Watts-Strogatz网络在控制过程中始终需要比Barabasi-Albert网络更少的输入新颖性与更少的能量，表明其在两种度量下均具有更优的可控制性。
• 基于新颖性的度量揭示了独特的可控制性特征——特别是对输入方向与历史的响应——这些特征仅靠基于能量的度量无法捕捉。
• 结果表明，结合能量、新颖性及其他度量的多维度控制分析，能够更完整地表征复杂网络中系统的可控制性。