[论文解读] Input-to-State Stability for the Control of Stefan Problem with Respect to Heat Loss

Shumon Koga, Iasson Karafyllis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用 8

一句话总结

该论文针对移动界面或固态边界处存在未知热损失的一相和两相Stefan问题，通过非线性反推控制律建立了输入-状态稳定性（ISS）。证明了在扰动下闭环系统在$L_2$范数下保持稳定，通过李雅普诺夫分析和Poincaré型不等式推导出显式的ISS估计。

ABSTRACT

This paper develops an input-to-state stability (ISS) analysis of the Stefan problem with respect to an unknown heat loss. The Stefan problem represents a liquid-solid phase change phenomenon which describes the time evolution of a material's temperature profile and the liquid-solid interface position. First, we introduce the one-phase Stefan problem with a heat loss at the interface by modeling the dynamics of the liquid temperature and the interface position. We focus on the closed-loop system under the control law proposed in [16] that is designed to stabilize the interface position at a desired position for the one-phase Stefan problem without the heat loss. The problem is modeled by a 1-D diffusion Partial Differential Equation (PDE) defined on a time-varying spatial domain described by an ordinary differential equation (ODE) with a time-varying disturbance. The well-posedness and some positivity conditions of the closed-loop system are proved based on an open-loop analysis. The closed-loop system with the designed control law satisfies an estimate of {L}_2 norm in a sense of ISS with respect to the unknown heat loss. The similar manner is employed to the two-phase Stefan problem with the heat loss at the boundary of the solid phase under the control law proposed in [25], from which we deduce an analogous result for ISS analysis.

研究动机与目标

• 分析在界面或边界处存在未知热损失时，闭环Stefan系统的鲁棒性。
• 将先前针对Stefan问题的反推控制设计扩展至通过输入-状态稳定性（ISS）实现扰动抑制。
• 为存在热损失时的一相和两相Stefan问题建立适定性和模型有效性条件。
• 推导温度和界面动态相对于热损失扰动的显式$L_2$范数ISS估计。
• 通过在具有不同热损失水平的锌带模型上进行数值仿真验证理论结果。

提出的方法

• 使用非线性反推变换设计一相Stefan问题的状态反馈控制律，如文献[16]所述，确保在$H^1$范数下的指数稳定性。
• 采用李雅普诺夫泛函方法推导ISS估计，构造能量型泛函$V_1$、$V_2$和$V_3$以描述系统状态。
• 运用Poincaré、柯西-施瓦茨、杨氏及Agmon不等式，对李雅普诺夫泛函的时间导数进行有界化，并推导微分不等式。
• 推导出形式为$\sqrt{V(t)} \leq M_1 e^{-\alpha t} \sqrt{V(0)} + M_2 \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$的ISS估计，证明在未知热损失下状态的有界性。
• 将分析扩展至在固态边界存在热损失的两相Stefan问题，采用文献[25]的控制律，应用类似的李雅普诺夫和不等式技术。
• 通过边界固定化方法和有限差分半离散化，在锌带模型上对理论结果进行数值验证，物理参数来自表1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在[16]中提出的反推控制律下，界面处存在未知热损失的一相Stefan问题能否保持输入-状态稳定性？
• RQ2 热损失的存在如何影响一相Stefan问题中界面位置和温度分布的稳定性？
• RQ3 ISS框架能否扩展至在固态边界存在热损失的两相Stefan问题？
• RQ4 在存在热损失的情况下，适定性和模型有效性（如温度和界面位置的正性）的充分条件是什么？
• RQ5 热损失的大小在多大程度上影响界面到期望设定点的跟踪误差和收敛速率？

主要发现

• 存在热损失的一相Stefan问题的闭环系统在$L_2$范数下满足ISS估计，状态范数被一个指数衰减项和一个与热损失上确界成正比的项所有界。
• ISS估计推导为$\sqrt{V_2(t)} \leq \sqrt{V_2(0)} e^{-\frac{\alpha_s}{16L^2}t} + \frac{4L\sqrt{2L}}{k_s} \sup_{\tau \in [0,t]} |q_f(\tau)|$，表明对未知扰动具有鲁棒性。
• 数值仿真结果表明，界面收敛至设定点$s_r = 0.35$ m，稳态误差随$\bar{q}_f$增大而增加，与ISS结果一致。
• 控制器保持边界温度$T(0,t) > T_m$为正，并确保$0 < s(t) < s_r$，验证了模型有效性条件。
• 对于两相Stefan问题，采用文献[25]的控制律，将相同的ISS框架扩展，得到类似的稳定性估计。
• 在$\bar{q}_f = 1.0 \times 10^3$、$5.0 \times 10^3$和$10.0 \times 10^3$ W/m²下的仿真结果表明，热损失越大，界面误差越大，证实了ISS界。