[论文解读] Integer symmetric matrices of small spectral radius and small Mahler measure

James McKee, Chris Smyth|ArXiv.org|Jul 2, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文对所有极小非分圆整数对称矩阵进行了分类，从而完整解决了此类矩阵的强Lehmer问题：当矩阵为非分圆时，其Mahler测度要么为1（分圆情形），要么至少为Lehmer常数λ₀ ≈ 1.17628。此外，本文还确定了所有谱半径小于2.019且Mahler测度小于1.3的整数对称矩阵，方法是将图论扩展至带有±1条目（含对角线）的带电有号图。

ABSTRACT

In a previous paper we completely described cyclotomic matrices--integer symmetric matrices of spectral radius at most 2. In this paper we find all minimal noncyclotomic matrices. As a consequence, we are able to determine all integer symmetric matrices of spectral radius at most 2.019, and to determine all integer symmetric matrices whose Mahler measure is at most 1.3. In particular we solve the strong version of Lehmer's problem for integer symmetric matrices: all noncyclotomic matrices have Mahler measure at least "Lehmer's number" 1.17628... .

研究动机与目标

• 对所有极小非分圆整数对称矩阵进行分类，扩展了此前关于分圆矩阵的研究。
• 通过识别Mahler测度大于1的下确界，解决整数对称矩阵的强Lehmer问题。
• 确定所有谱半径小于2.019且Mahler测度小于1.3的整数对称矩阵。
• 将图论方法扩展至带电有号图（具有±1的非对角线及对角线条目），以分析谱性质与Mahler测度。
• 确立非分圆整数对称矩阵的最小可能Mahler测度恰好为Lehmer常数λ₀，且该界是紧的。

提出的方法

• 将分圆与非分圆矩阵的理论扩展至有号图与带电有号图，其中邻接矩阵条目可取值于{−1, 0, 1}，且对角线条目为±1。
• 利用关联的倒数多项式R_A(z) = z^d * P(z + 1/z)，将矩阵A的特征多项式与其Mahler测度联系起来。
• 应用交错定理与谱界，证明非分圆矩阵的谱半径必须满足≥ √λ₀ + 1/√λ₀ ≈ 2.00659。
• 采用逐步扩展过程，从极小非分圆带电有号图生成所有非极小非分圆带电有号图，并通过计算机验证其Mahler测度。
• 利用图与有号图的已知结果（如Cvetković, Doob, Gutman等人的工作），并将其扩展至包含对角线电荷与负边符号。
• 利用绝对值≥2的条目可被轻易排除的事实，仅关注±1条目。

实验结果

研究问题

• RQ1 非分圆整数对称矩阵的Mahler测度的下确界是什么？
• RQ2 哪些整数对称矩阵的谱半径小于2.019？
• RQ3 哪些整数对称矩阵的Mahler测度小于1.3？
• RQ4 极小非分圆整数对称矩阵有哪些？如何对它们进行分类？
• RQ5 能否通过带电有号图的图论方法解决整数对称矩阵的强Lehmer问题？

主要发现

• 极小非分圆整数对称矩阵包括4个无限族与125个孤立例子，论文中已完整列出。
• 任何非分圆整数对称矩阵的Mahler测度至少为Lehmer常数λ₀ ≈ 1.17628，且该界是紧的。
• 达到Mahler测度λ₀的两个最小矩阵分别是带电有号图5u与5N的邻接矩阵。
• 所有谱半径小于2.019的整数对称矩阵要么是分圆的，要么其谱半径恰好为10个特定值之一，包括2.00659（对应图10f）。
• 所有Mahler测度小于1.3的整数对称矩阵要么是分圆的，要么等价于125个极小非分圆矩阵或其非极小扩展，所有此类非极小例子均通过扩展过程找到。
• 除已知列表外，不存在连通带电有号图满足Mahler测度 < 1.3且顶点数超过11个，且所有此类图至少包含一个带电顶点。