[论文解读] Integral formulas for a metric-affine manifold with two complementary orthogonal distributions

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文推导了配备两个互补正交分布的度量仿射流形的积分公式，将黎曼几何结果推广至包含挠率和非利维-奇维塔联络的情形。主要贡献在于：在涉及混合数量曲率与平均曲率不变量的条件下，流形可等距分裂——从而为叶状结构、纤维丛及扭积提供几何障碍。

ABSTRACT

We obtain integral formulas for a metric-affine space equipped with two complementary orthogonal distributions. The integrand depends on the Ricci and mixed scalar curvatures and invariants of the second fundamental forms and integrability tensors of the distributions. The formulas under some conditions yield splitting of manifolds (including submersions and twisted products) and provide geometrical obstructions for existence of distributions and foliations (or compact leaves of them).

研究动机与目标

• 将黎曼几何中的积分公式推广至包含挠率与非度量联络的度量仿射流形。
• 推导此类流形中分布、叶状结构或紧致叶存在的几何障碍。
• 建立度量仿射流形等距分裂的条件，包括作为纤维丛或扭积的情形。
• 将关于脐形、调和及全测地分布的结果推广至度量仿射情形。

提出的方法

• 在具有两个互补正交分布的度量仿射空间中，推导平均曲率向量场 ξ = H^⊥ + H^⊤ 的散度公式。
• 利用扭张量及其对偶表达曲率不变量，包括混合数量曲率 S_mix 与里奇曲率。
• 应用散度定理并利用 ∥ξ∥_g 的 L¹-可积性，推导出曲率与第二基本形式项的消失。
• 依赖德·Rham分解定理，在曲率与平均曲率项消失时得出流形的分裂结论。
• 考虑两种关键情形：(1) 满足 T^⊤, T^⊥, H^⊤, H^⊥ 全为零的分布；(2) 如双扭积结构的纤维化结构。
• 建立条件，使得 ∫_M div ξ dvol = 0 蕴含 S_mix = 0 且 H^⊤ = H^⊥ = 0，从而导致直积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率与平均曲率条件下，配备两个互补正交分布的度量仿射流形会分裂为一个积流形？
• RQ2 与利维-奇维塔情形相比，挠率与非度量联络如何影响分布与叶状结构的积分公式？
• RQ3 在度量仿射流形上的叶状结构中，紧致叶存在的几何障碍是什么？
• RQ4 在度量仿射情形下，能否通过积分曲率不变量来阻碍或强制流形作为扭积的分裂？
• RQ5 平均曲率向量的 L¹-可积性在推导全局分裂定理中起何种作用？

主要发现

• 若混合数量曲率 S_mix ≤ 0 且平均曲率向量 ξ = H^⊤ + H^⊥ 属于 L¹，则流形等距分裂。
• ξ 的散度消失意味着可积性张量 T^⊤ 与 T^⊥ 及平均曲率向量 H^⊤ 与 H^⊥ 全部消失。
• 在双扭积 B×_(v,u)F 情形下，若 S_mix ≤ 0 且 ∥ξ∥_g ∈ L¹，则扭曲函数 u 与 v 必为常数，意味着为直积。
• 对于完备的开或闭度量仿射流形，若其具有脐形、调和且无挠率的分布，则当 S_mix ≤ 0 且满足平均曲率条件时，流形将分裂。
• 结果将经典黎曼几何中的分裂定理推广至度量仿射几何，涵盖统计流形与黎曼-嘉当流形。
• 所导出的积分公式提供强障碍：若 S_mix < 0，则全局脐形或调和分布不可能存在。