[论文解读] Interlace Polynomials for Delta-Matroids

Robert Brijder, Hendrik Jan Hoogeboom|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文将交错多项式及相关图多项式推广至集合系统与Δ-矩阵，并通过组合学而非图论方法，推导出其递归性质。研究证明，拟阵上的图 Tutte 多项式沿对角线的限制，是 Δ-矩阵广义交错多项式的特例，从而证实了 Las Vergnas 的一个猜想，并揭示了新的取值与相互关系。

ABSTRACT

We show that the (single variable) interlace polynomial and several related graph polynomials may be defined for set systems (or more specifically, delta-matroids) in general. In this way, and using combinatorial properties of set systems and delta-matroids rather than graph theoretical arguments, we find that various known results about these polynomials, including their recursive relations, are both more efficiently and more generally obtained. In addition, we obtain several interrelationships and results for polynomials on set systems (and delta-matroids) that correspond to new interrelationships and results for the corresponding polynomials on graphs. Finally, we show that the Tutte polynomial for matroids on the diagonal is a special case of the generalized interlace polynomial for delta-matroids, and we obtain in this way novel evaluations of the Tutte polynomial. In particular we prove a conjecture by Las Vergnas.

研究动机与目标

• 将交错多项式及相关图多项式扩展至集合系统与 Δ-矩阵的更广泛框架。
• 通过集合系统的组合性质而非图论方法，推导这些多项式的递归关系与结构性质。
• 揭示集合系统上多项式之间新的相互关系，这些关系可转化为图多项式的新结果。
• 证明拟阵上的 Tutte 多项式沿对角线的限制，是 Δ-矩阵广义交错多项式的特例。
• 证明 Las Vergnas 关于拟阵上 Tutte 多项式取值的猜想。

提出的方法

• 通过对称差运算和局部互补性类比，形式化 Δ-矩阵的交错多项式。
• 通过在 Δ-矩阵的可行集上定义类似删除-收缩的递归运算，构建广义多项式。
• 建立 Tutte 多项式限制在对角线上的结果，对应于广义交错多项式的一个特定取值。
• 利用 Δ-矩阵的结构性质——如对称差与可行集闭包——推导多项式恒等式。
• 将基于图的多项式恒等式转化为集合系统的语言，揭示更深层的组合联系。
• 应用广义框架，恢复并扩展已知的交错多项式及其取值结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 交错多项式及相关图多项式能否自然地推广至 Δ-矩阵与集合系统？
• RQ2 支撑这些广义多项式递归结构的 Δ-矩阵的组合性质是什么？
• RQ3 集合系统上多项式之间的相互关系如何反映图结构中的新关系？
• RQ4 拟阵上的 Tutte 多项式沿对角线的限制是否为 Δ-矩阵广义交错多项式的特例？
• RQ5 能否利用此广义框架证明 Las Vergnas 关于 Tutte 多项式取值的猜想？

主要发现

• 通过独立于图结构的集合系统组合性质，交错多项式及相关图多项式可推广至 Δ-矩阵。
• 与基于图论的论证相比，通过 Δ-矩阵运算更高效且更普遍地推导出这些多项式的递归关系。
• 集合系统上多项式间的新相互关系，导出了图多项式的新结果。
• 证明了拟阵上 Tutte 多项式沿对角线的限制，是 Δ-矩阵广义交错多项式的特例。
• 该框架为 Las Vergnas 关于拟阵上 Tutte 多项式取值的猜想提供了证明。