[论文解读] Internal Parametricity for Cubical Type Theory

Evan Cavallo, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文提出了一种统一的类型理论，将立方体类型理论的高维路径与参数类型理论的关系桥接相结合，实现了内部参数性与无差别性（univalence）。该理论建立了相对性——无差别性的关系等价形式——并展示了其在一致的同伦理论框架下，通过构造性推理证明高阶归纳类型（包括 smash 积）的泛定理。

ABSTRACT

We define a computational type theory combining the contentful equality structure of cartesian cubical type theory with internal parametricity primitives. The combined theory supports both univalence and its relational equivalent, which we call relativity. We demonstrate the use of the theory by analyzing polymorphic functions between higher inductive types, and we give an account of the identity extension lemma for internal parametricity.

研究动机与目标

• 通过维度变量统一立方体类型理论的高维结构与参数类型理论的关系推理。
• 在构造性类型理论中内化相对性——无差别性的关系对应物。
• 通过内部参数性支持对高阶归纳类型（如 smash 积）上的泛型函数的正式推理。
• 证明该联合理论与某些形式排中律否定的一致性。
• 通过引入桥离散类型并利用相对性表征 bool 等数据类型的桥类型，扩展参数类型理论的方法论。

提出的方法

• 引入一种具有两类维度变量的类型理论：结构性（用于路径）与次结构性（用于桥接），以保持其各自角色。
• 修改立方体类型理论的 Kan 条件，确保桥类型为 Kan 类型，从而在参数设定下支持类似路径的推理。
• 将相对性定义为类型宇宙中桥类型与关系之间的等价关系，通过无差别性替代 I-集合的需求。
• 利用函数延拓性与 η-规则构造 smash 积的路径等式，实现关系设定下函数间的路径等价。
• 应用核心引理与收缩论证，证明关键泛型类型为集合，从而支持证明无关性。
• 显式构造如 ∧-graphx 与 gluel/gluer 等项，以建模高阶归纳类型中构造子的路径连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过统一路径类型与桥类型，在类型理论中同时内化无差别性与参数性？
• RQ2 在立方体设定下，如何形式化相对性——即关系无差别性——以支持高阶归纳类型的泛定理？
• RQ3 桥离散类型在刻画 bool 等归纳类型的关系解释中起何作用？
• RQ4 如何利用内部参数性构造性地证明 smash 积的张量结构？
• RQ5 该联合理论是否与某些形式排中律的否定保持一致？

主要发现

• 类型 P := (X∗, Y∗:U∗) →X →Y →X∗∧Y∗ 是一个集合，通过收缩到 bool 证明，确保了泛定理的证明无关性。
• 核心引理表明，任意泛型函数 f : P 仅通过其在 bool 上的行为，即可在路径等价意义下唯一确定，从而实现对这类函数的分类。
• 主定理表明，任意保持基点的函数 f∗: (X∗, Y∗:U∗) →X∗∧∗Y∗→∗X∗∧∗Y∗ 仅通过其在构造子与基点上的作用，即可在路径等价意义下唯一确定。
• f∗ 在 gluel 与 gluer 项上的行为，仅通过基点保持性与 P 中的路径结构，即可在路径意义下唯一确定。
• 该理论支持对 HIT（如 smash 积）的连通性构造性证明，避免了此类证明的通常复杂性。
• 联合理论与排中律某些形式的否定保持一致，其证据来自 PER 语义。