[论文解读] Internal quark symmetries and colour SU(3) entangled with Z_3-graded Lorentz algebra

Richard Kerner, J. Lukierski|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2020

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 30被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种Z3-graded的洛伦兹代数扩展，以统一内部夸克对称性——色味SU(3)、味SU(2)和家族SU(3)——在一个72分量的主夸克场中。通过使用三元克利福德代数构造12分量的带色狄拉克方程，其中质量参数为Z3-graded形式（一个实数，两个共轭复数），该框架实现了Z3-graded洛伦兹代数的忠实旋量表示，从而通过六个12分量场的统一描述了标准模型中所有夸克自由度。

ABSTRACT

In the current version of QCD the quarks are described by ordinary Dirac fields, organized in the following internal symmetry multiplets: the $SU(3)$ colour, the $SU(2)$ flavour, and broken $SU(3)$ providing the family triplets. oindent In this paper we argue that internal and external (i.e. space-time) symmetries are entangled at least in the colour sector in order to introduce the spinorial quark fields in a way providing all the internal quark's degrees of freedom which do appear in the Standard Model. Because the $SU(3)$ colour algebra is endowed with natural $Z_3$-graded discrete automorphisms, in order to introduce entanglement the $Z_3$-graded version of Lorentz and Poincar\'e algebras with their realizations are considered. The colour multiplets of quarks are described by $12$-component colour Dirac equations, with a $Z_3$-graded triplet of masses (one real and a Lee-Wick complex conjugate pair). We argue that all quarks in the Standard Model can be described by the $72$-component master quark sextet of $12$-component coloured Dirac fields.

研究动机与目标

• 在单一代数框架中统一内部夸克对称性——色味SU(3)、味SU(2)和家族SU(3)。
• 通过引入具有Z3-graded结构的12分量带色狄拉克场，解决将夸克视为标准4分量狄拉克场时的运动学不一致问题。
• 构建作用于六个12分量场的Z3-graded洛伦兹代数的忠实旋量表示，从而生成72分量的主夸克场。
• 实现Z3-graded质量三元组（m, jm, j²m），其中j = e^{2πi/3}，以支持复波矢量和自由夸克动力学中的阻尼指数解。
• 通过为Z3-graded克莱因-戈登场定义传播子和振子代数，为未来量化和规范耦合提供运动学基础。

提出的方法

• 基于3×3矩阵Q₁, Q₂, Q₃及其厄米共轭，利用三元克利福德代数，其中Z3-graded定义为grade(Qₖ) = 1，grade(Q†ₖ) = 2。
• 通过张量积M₃(ℂ) ⊗ H₂ ⊗ H₂构造12×12的广义狄拉克Γμ矩阵，其中M₃(ℂ)编码SU(3)色味，H₂表示旋量自由度。
• 引入Z3-graded质量三元组：m（实数）、jm、j²m（共轭复数对），导致一个六阶克莱因-戈登型波方程。
• 在四维动量向量三元组（一个实数，两个共轭复数）和72分量主场上，实现Z3-graded洛伦兹代数L = L⁽⁰⁾ ⊕ L⁽¹⁾ ⊕ L⁽²⁾的矢量和旋量表示。
• 通过将六阶方程分解为三个具有复质量的耦合克莱因-戈登方程，推导出Z3-graded夸克场的传播子。
• 通过从Z3-graded狄拉克矩阵导出的投影算子定义手征色旋量，保持Z3-协变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 内部夸克对称性（色味、味、世代）能否在一个Z3-graded洛伦兹代数的单个不可约表示中统一？
• RQ2 具有Z3-graded质量参数的12分量带色狄拉克场如何一致地描述所有夸克自由度，且与标准模型一致？
• RQ3 Z3-graded洛伦兹代数的旋量表示结构是什么？它如何忠实作用于72分量主场？
• RQ4 Z3-graded质量参数（m, jm, j²m）如何改变色散关系，并在自由夸克动力学中导致阻尼指数解？
• RQ5 Z3-graded费米子场的量化和定义Z3-协变度量的振子代数的运动学基础是什么？

主要发现

• 该论文构建了一个72分量的主夸克场，作为六个12分量带色狄拉克场的集合，忠实实现了Z3-graded洛伦兹代数的旋量表示。
• 自由夸克动力学由一个六阶波方程控制，该方程可分解为三个克莱因-戈登算符的乘积，其质量分别为m、jm和j²m，导致复波矢量和阻尼解。
• Z3-graded质量三元组（m, jm, j²m）在Z3对称性下协变，其中j = e^{2πi/3}，并导致三个具有留数（1, j, j²）的不同传播子，分别定义了三种不同的希尔伯特-福克空间度量。
• 12×12的广义狄拉克矩阵由三元克利福德代数构造，其生成元为Qₖ和Q†ₖ，满足Z3-graded交换关系，并形成封闭的代数结构。
• Z3-graded洛伦兹代数的矢量实现作用于一个四维动量向量三元组（一个实数，两个共轭复数），在动量空间中保持Z3对称性。
• 该框架自然地包含了手征味双重态，并可通过从广义狄拉克矩阵导出的Z3-协变投影算子定义手征色旋量。