[论文解读] Intersections of essential minimal prime ideals

Ali Taherifar|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Rings, Modules, and Algebras被引用 8

一句话总结

本文研究交换环中本质极小素理想交集，特别是在可约环和 $C(X)$ 中的情况，利用极小素理想谱 $\mathcal{M}$ 在 Zariski 拓扑下的拓扑性质。研究发现，$R_{K}(\mathcal{M})$（即满足 $D(a)$ 的闭包紧致的元素集合）刻画了 $\mathcal{M}$ 的局部紧致性与几乎局部紧致性，并证明在 $C(X)$ 中，本质极小素理想的交集等于 socle $C_F(X)$，且当且仅当 $I(X) = X_L$ 且 $C_K(X)$ 为纯理想时，该交集等于 $C_K(X)$。主要贡献在于将环论中的理想与空间 $X$ 及 $\mathcal{M}$ 的拓扑性质联系起来，特别是通过伪离散空间实现。

ABSTRACT

Let $\mathcal{Z(R)}$ be the set of zero divisor elements of a commutative ring $R$ with identity and $\mathcal{M}$ be the space of minimal prime ideals of $R$ with Zariski topology. An ideal $I$ of $R$ is called strongly dense ideal or briefly $sd$-ideal if $I\subseteq \mathcal{Z(R)}$ and is contained in no minimal prime ideal. We denote by $R_{K}(\mathcal{M})$, the set of all $a\in R$ for which $\bar{D(a)}=\bar{\mathcal{M}\setminus V(a)}$ is compact. We show that $R$ has property $(A)$ and $\mathcal{M}$ is compact \ifif $R$ has no $sd$-ideal. It is proved that $R_{K}(\mathcal{M})$ is an essential ideal (resp., $sd$-ideal) \ifif $\mathcal{M}$ is an almost locally compact (resp., $\mathcal{M}$ is a locally compact non-compact) space. The intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ need not be an essential ideal. We find an equivalent condition for which any (resp., any countable) intersection of essential minimal prime ideals of a reduced ring $R$ is an essential ideal. Also it is proved that the intersection of essential minimal prime ideals of $C(X)$ is equal to the socle of C(X) (i.e., $C_{F}(X)=O^{βX\setminus I(X)}$). Finally, we show that a topological space $X$ is pseudo-discrete \ifif $I(X)=X_{L}$ and $C_{K}(X)$ is a pure ideal.

研究动机与目标

• 通过极小素理想谱 $\mathcal{M}$ 的拓扑性质，刻画可约环中本质极小素理想交集为本质理想的情形。
• 确定 $R_{K}(\mathcal{M})$（即满足 $\overline{D(a)}$ 紧致的元素集合）何时为本质理想或 $sd$-理想，并将其与 $\mathcal{M}$ 的拓扑紧致性联系起来。
• 确定在何种条件下，$C(X)$ 中本质极小素理想的交集等于 socle $C_F(X)$ 或理想 $C_K(X)$，从而将环论理想与空间 $X$ 的拓扑结构联系起来。
• 通过本质极小素理想交集的结果，建立伪离散空间的刻画：当且仅当 $I(X) = X_L$ 且 $C_K(X)$ 为纯理想时成立。

提出的方法

• 将 $R_K(\mathcal{M})$ 定义为所有满足 $\overline{D(a)}$ 在 $\mathcal{M}$（极小素理想空间）的 Zariski 拓扑下紧致的 $a \in R$ 的集合。
• 利用 $z^0$-理想结构分析 $R_K(\mathcal{M})$，证明其为 $z^0$-理想，并通过 $\mathcal{M}$ 的紧致性刻画其零化或完全性。
• 引入 $sd$-理想（强稠密理想）的概念：即包含于 $\mathcal{Z}(R)$ 但不包含于任何极小素理想中的理想，并将其存在性与 $\mathcal{M}$ 的拓扑性质关联。
• 应用 $C(X)$ 中 socle $C_F(X)$ 的刻画 $O^{\beta X \setminus I(X)}$，并将其与本质极小素理想的交集关联。
• 利用 $C_K(X)$（具有紧致支集的函数的理想）及其纯性，刻画其等于本质极小素理想交集的条件。
• 建立 $C_K(X) = O^{\beta X \setminus I(X)}$ 与 $I(X) = X_L = \bigcup_{f \in C_K(X)} \overline{X \setminus Z(f)}$ 的等价性，从而连接拓扑与代数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可约环 $R$ 中，本质极小素理想交集何为本质理想？
• RQ2 在何种条件下 $R_K(\mathcal{M})$ 为本质理想或 $sd$-理想？其与 $\mathcal{M}$ 拓扑结构有何关联？
• RQ3 在 $C(X)$ 中，本质极小素理想交集何时等于 socle $C_F(X)$？
• RQ4 在 $C(X)$ 中，本质极小素理想交集何时等于 $C_K(X)$？
• RQ5 空间 $X$ 需满足何种拓扑条件，才能保证 $C_K(X)$ 为纯理想且 $I(X) = X_L$？该条件用于刻画伪离散空间。

主要发现

• 在 $C(X)$ 中，本质极小素理想的交集等于 socle $C_F(X)$，即具有有限支集的函数集合。
• 在 $C(X)$ 中，本质极小素理想的交集等于 $C_K(X)$ 当且仅当 $I(X) = X_L$ 且 $C_K(X)$ 为纯理想。
• $R_K(\mathcal{M})$ 为本质理想当且仅当 $\mathcal{M}$ 为几乎局部紧致。
• $R_K(\mathcal{M})$ 为 $sd$-理想当且仅当 $\mathcal{M}$ 局部紧致但不紧致。
• 拓扑空间 $X$ 为伪离散空间当且仅当 $I(X) = X_L$ 且 $C_K(\cdot)$ 为纯理想。
• 对于 $C(X)$，本质极小素理想交集为本质理想当且仅当 $X$ 的孤立点集在 $X$ 中稠密。