[论文解读] Intersections of special cycles on the Shimura variety for GU(1,2)

Ulrich Terstiege|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文证明了关于 GU(1,2) 上的 Shimura 簧上特殊循环的退化相交的 Kudla-Rapoport 猜想，建立了模 p-可除群的模空间上特殊循环的局部相交重数与赫尔米特表示密度导数之间的确切联系。关键结果表明，即使在退化情况下，特殊循环的全局相交重数也与爱森斯坦级数导数的傅里叶系数相匹配，从而解决了该猜想的第一个非平凡情形（n=3）。

ABSTRACT

We establish a close connection between intersection multiplicities of special cycles on arithmetic models of the Shimura variety for GU(1,2) and Fourier coefficients of derivatives of certain incoherent Eisenstein series, confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. The paper is divided into two parts. The first part is the bulk of the paper and investigates intersections of local special cycles which are defined on a certain moduli space of p-divisible groups. This moduli space of p-divisible groups can be used for the uniformization of the completion of the Shimura variety along the supersingular locus in the fiber at an inert prime p. We investigate the structure of local special cycles and of their intersections. In particular, we give an explicit description of the special fiber of a local special cycle. We then prove an explicit formula for the intersection multiplicity of three local special cycles and relate it to certain hermitian representation densities, also confirming a conjecture of Kudla and Rapoport. To this end, we also give an explicit inductive formula for the relevant hermitian representation densities α_p(1_s,T), where T is of the form diag(p^{a_1},...,p^{a_n}). In the second part, we apply the main result of the first part to prove the relation of intersection multiplicities of (global) special cycles and Fourier coefficients of derivatives of Eisenstein series.

研究动机与目标

• 证明在 GU(1,2) 的 Shimura 簧上特殊循环发生退化相交时的 Kudla-Rapoport 猜想，这是首次出现此类退化的情形。
• 在 p-可除群的模空间上，建立特殊循环的局部相交重数与赫尔米特表示密度导数之间的精确对应关系。
• 将已知的非退化情形（n=2）推广至退化情形（n=3），从而完成一般猜想的基础情形。
• 验证即使在相交退化的情况下，特殊循环的全局相交重数也等于爱森斯坦级数导数的傅里叶系数。

提出的方法

• 本文将全局问题约化为带有 Z_p^2 作用和 p-主极化的 p-可除群模空间上的局部相交问题。
• 通过 Q_p^2 上的赫尔米特空间中的特殊同态来定义特殊循环，使用一个超奇异 p-可除群的典范提升与一个固定的基基本 p-可除群之间的同态空间。
• 通过特殊同态的基本矩阵（即 Q_p^2 上的赫尔米特矩阵）来计算局部相交重数。
• 本文运用赫尔米特表示密度及其导数的理论，特别是函数 W'_T,p(0, Φ_p)，将相交重数与自守形式联系起来。
• 应用自守形式理论与算术 Siegel-Weil 公式，将相交重数与爱森斯坦级数导数的傅里叶系数进行比较。
• 通过比较所有相关赫尔米特空间的贡献，并利用当 n=3（奇数）时存在唯一的 U(Ṽ)-自对偶格的整类这一事实，推导出全局结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kudla-Rapoport 猜想中关于特殊循环相交重数与爱森斯坦级数导数的傅里叶系数之间关系是否在退化相交情况下成立？
• RQ2 在 GU(1,2) 的 p-可除群模空间上，特殊循环的局部相交重数能否用赫尔米特表示密度的导数来表达？
• RQ3 在 GU(1,2) 的 Shimura 簧上，即使相交退化，特殊循环的全局相交重数是否等于某个爱森斯坦级数导数的傅里叶系数？
• RQ4 带有 Z_p^2 作用和 p-主极化的 p-可除群模空间的结构如何影响相交重数的计算？
• RQ5 当 n=3 为奇数时，U(Ṽ)-自对偶格的唯一性在简化傅里叶系数贡献的全局和中起到什么作用？

主要发现

• 在 GU(1,2) 的 p-可除群模空间上，特殊循环的局部相交重数等于赫尔米特表示密度的导数 W'_T,p(0, Φ_p)，至多相差一个常数。
• 在 GU(1,2) 的 Shimura 簧上，特殊循环的全局相交重数与爱森斯坦级数导数的傅里叶系数完全匹配，从而在退化情形下证实了 Kudla-Rapoport 猜想。
• 将相交重数与爱森斯坦级数导数关联的常数与矩阵 T 无关，并与非退化情形下的已知常数一致。
• 由于当 n=3 为奇数时 U(Ṽ)-自对偶格的整类唯一，因此全局和中每对 (V^#, V_0) 的贡献均相同。
• 该证明表明，局部结果（定理 5.2）可推出全局结果，说明在一般情况下，证明局部猜想即可推出全局陈述。