[论文解读] Intrinsic Differential Geometry and the Existence of Quasimeromorphic Mappings

Emil Saucan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2008

Analytic and geometric function theory被引用 5

一句话总结

本文通过仅使用曲率界、联络半径和体积等内在几何数据（而不依赖于嵌入欧几里得空间），提出了一种新的、内在的微分几何证明，证明了在光滑、完备、定向的黎曼流形上存在非平凡的拟亚纯映射。关键结果是：在上、下均有界截面曲率的流形上，此类映射存在，将先前基于外蕴嵌入的构造推广到了更具几何自然性的框架。

ABSTRACT

We give a new proof of the existence of nontrivial quasimeromorphic mappings on a smooth Riemannian manifold, using solely the intrinsic geometry of the manifold.

研究动机与目标

• 通过仅使用内在几何数据（而非外蕴嵌入）来建立完备、光滑黎曼n-流形上拟亚纯映射存在的证明。
• 克服先前基于Nash嵌入和密切半径（osculatory radii）构造的局限性，这些方法难以计算且依赖于环境空间的几何结构。
• 发展一种方法，以保持并利用内在几何不变量，如曲率界、联络半径和体积增长。
• 提供一个适用于非紧流形的框架，并可推广至带边流形和某些轨道流形（orbifolds）。

提出的方法

• 利用曲率界和联络半径估计等内在几何约束，在黎曼流形上构造一个厚三角剖分。
• 通过控制面体积与直径之比，确保三角剖分具有统一的厚性（thick），并利用内在曲率和体积增长条件。
• 应用重心剖分，以确保每个(n−2)-面恰好与偶数个n-单形相邻，从而实现拟共形映射的一致粘合。
• 通过将经典Alexander方法推广至每个单形到n-球面的拟共形同胚，分片定义拟亚纯映射。
• 利用三角剖分的统一厚性，将所得映射的稀释度（dilatation）统一有界，其常数仅依赖于维度n。
• 利用已知的黎曼度量光滑化结果，在逼近原始几何的同时保持曲率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用内在几何数据（不依赖于等距嵌入到欧几里得空间）在黎曼流形上构造拟亚纯映射？
• RQ2 哪些内在几何条件（如曲率界、体积增长或联络半径）可保证厚三角剖分的存在？
• RQ3 如何仅使用内在不变量（如截面曲率和体积）来控制三角剖分的厚性？
• RQ4 先前构造中对外蕴依赖的程度（例如通过Nash嵌入和密切半径）在拟亚纯映射存在性证明中能在多大程度上被消除？
• RQ5 该构造能否在保持内在几何控制的前提下推广至带边流形和轨道流形？

主要发现

• 在任意完备、定向、C∞黎曼n-流形（n ≥ 2）上，若截面曲率上界为K₀且下界为正数，则存在一个具有统一厚性的厚三角剖分。
• 对于满足0 < K ≤ K₀的非紧流形，联络半径被统一下界控制为π/√K₀，支持了统一厚三角剖分的存在性。
• 该构造产生一个拟亚纯映射f: Mⁿ → Ŝⁿ，其外稀释度仅依赖于维度n，与流形的具体几何无关。
• 该映射的分支集为三角剖分的(n−2)-骨架，且在每个单形内部，映射是拟正则且局部拟共形的。
• 该方法通过使用内在曲率和体积界，避免了对外蕴几何的依赖，相较于先前方法更具几何自然性且计算上更可行。
• 该结果可推广至带边流形和满足内在几何条件的某些轨道流形。