[论文解读] Intrinsic Flat Stability of Manifolds with Boundary where Volume Converges and Distance is Bounded Below

Brian Allen, Raquel Perales|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文確立了黎曼流形（帶邊界）在體積保持的內蘊平坦收斂下所需的幾何條件。在一致直徑有界、點態度量控制、體積收斂及 $ L^{(m-1)/2} $ 表面度量收斂的條件下，序列以體積保持的方式內蘊平坦收斂至光滑極限流形，將先前僅適用於無邊界流形的結果推廣至帶邊界的流形。

ABSTRACT

Given a compact, connected, and oriented manifold with boundary $M$ and a sequence of smooth Riemannian metrics defined on it, $g_j$, we prove volume preserving intrinsic flat convergence of the sequence to the smooth Riemannian metric $g_0$ provided $g_j$ always measures vectors strictly larger than or equal to $g_0$, the diameter of $g_j$ is uniformly bounded, the volume of $g_j$ converges to the volume of $g_0$, and $L^{\frac{m-1}{2}}$ convergence of the metrics restricted to the boundary. Many examples are reviewed which justify and explain the intuition behind these hypotheses. These examples also show that uniform, Lipschitz, and Gromov-Hausdorff convergence are not appropriate in this setting. Our results provide a new rigorous method of proving some special cases of the intrinsic flat stability of the positive mass theorem.

研究动机与目标

• 將體積保持的內蘊平坦收斂結果從無邊界流形推廣至非空邊界的流形。
• 識別出保證內蘊平坦收斂的最小幾何假設——具體而言，即度量控制、直徑有界、體積收斂與邊界度量收斂。
• 展示在邊界引發的幾何複雜性下，一致、利普希茨或格羅莫夫-豪斯多夫收斂在本設定中不充分。
• 為證明在邊界存在下正質量定理的內蘊平坦穩定性之特殊情況，提供一個嚴謹的框架。
• 證明在 $ L^{m/2} $ 度量收斂與體積控制下，邊界度量收斂可弱化為面積有界，從而簡化假設。

提出的方法

• 利用索爾曼-惠勒的積分當量空間框架，透過保距映射將流形嵌入共同的度量空間，以實現內蘊平坦收斂。
• 利用光滑圖冊與度量控制條件 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $，在 $ M_j $ 和 $ M_0 $ 上構造雙利普希茨坐標圖。
• 定義映射 $\varphi_j: M_j \to Z $ 與 $\varphi_0: M_0 \to Z $ 至共同度量空間 $ Z $，以實現當量的平坦收斂。
• 應用安布羅西奧-基爾希海姆的正規當量理論，定義並比較與 $ M_j $ 和 $ M_0 $ 相關的當量質量。
• 透過差當量 $ T' $ 與 $ T $ 的質量估計內蘊平坦距離，其中 $ T = \iota_{j\sharp}[[M_j \times [0,h_j]]] $ 且 $ T' = \varphi_{j\sharp}[[M_j]] - \varphi_{0\sharp}[[M_0]] - \partial T $。
• 使用不等式 $ d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T) $，其中 $ \mathbf{M}(T) \leq h_j V $ 且 $ \mathbf{M}(T') \leq 2V_j + A h_j $，以控制平坦距離。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，帶邊界的黎曼流形序列會以體積保持的方式內蘊平坦收斂？
• RQ2 與無邊界情形相比，邊界效應（如測地線穿越邊界）如何影響內蘊平坦收斂？
• RQ3 $ L^{(m-1)/2} $ 表面度量收斂是否可取代內蘊平坦收斂定理中更強的收斂假設？
• RQ4 當體積與直徑有界時，邊界度量所需的最小正則性為何，方能確保內蘊平坦收斂？
• RQ5 若內部度量以 $ L^{m/2} $ 方式收斂，是否容許放寬邊界度量收斂的假設？

主要发现

• 在度量控制 $ (1 - 1/j)g_0 \leq g_j $、一致直徑有界 $ \operatorname{Diam}(M_j) \leq D $、體積收斂 $ \operatorname{Vol}(M_j) \to \operatorname{Vol}(M_0) $ 及 $ L^{(m-1)/2} $ 表面度量收斂下，$ M_j \xrightarrow{\mathcal{VF}} M_0 $ 以體積保持的內蘊平坦方式收斂。
• 在 $ g_j $ 對 $ g_0 $ 以 $ L^{m/2} $ 收斂且體積一致有界的條件下，邊界度量收斂假設可由一致面積有界 $ \operatorname{Vol}(\partial M_j) \leq A $ 取代，從而簡化假設。
• 內蘊平坦距離滿足 $ d_{\mathcal{F}}(M_j, M_0) \leq \mathbf{M}(T') + \mathbf{M}(T) \leq 2V_j + A h_j + h_j V $，其中 $ V_j \to V $，故距離趨於零。
• 證明依賴於構造共同度量空間 $ Z $，並透過保距映射將 $ M_j $ 與 $ M_0 $ 嵌入其中，以在 $ Z $ 中比較其當量。
• 該方法避免了對格羅莫夫-豪斯多夫或一致利普希茨收斂的要求，這些在邊界設定下因邊界反射的測地線而失效。
• 本結果為在自然幾何約束下，證明邊界存在時正質量定理的內蘊平坦穩定性，提供了一個新且嚴謹的工具。